Conjuntamente estadísticas suficientes completas: Uniforme (a, b)

Sea una muestra aleatoria de la distribución uniforme en , donde . Deje que y sean las estadísticas de pedido más grandes y más pequeñas. Demuestre que la estadística es una estadística suficiente conjuntamente completa para el parámetro . $\mathbf{X}= (x_1, x_2, \dots x_n)$$(a,b)$$a < b$$Y_1$$Y_n$$(Y_1, Y_n)$$\theta = (a, b)$

No es un problema para mí demostrar suficiencia utilizando la factorización.

Pregunta: ¿Cómo muestro integridad? Preferiblemente me gustaría una pista.

Intento: puedo mostrar implica para la distribución uniforme de un parámetro, pero me estoy atascando en la distribución uniforme de dos parámetros.$\mathbb E[g(T(x))] = 0$$g(T(x)) = 0$

Intenté jugar con y usar la distribución conjunta de e , pero no estoy seguro de si voy en la dirección correcta, ya que el cálculo me está tropezando.$\mathbb E[g(Y_1, Y_n)]$$Y_1$$Y_n$

Cuidemos el cálculo de rutina para usted, para que pueda llegar al meollo del problema y disfrute formulando una solución. Se trata de construir rectángulos como uniones y diferencias de triángulos.

Primero, elija valores de y que hagan que los detalles sean lo más simples posible. $a$$b$ Me gusta : la densidad univariada de cualquier componente de es solo la función indicadora del intervalo .X = ( X 1 , X 2 , … , X n ) [ 0 , 1 $a=0,b=1$$X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$$[0,1]$

Busquemos la función de distribución de . ( Y 1 , Y n$F$$(Y_1,Y_n)$Por definición, para cualquier número real esto es$y_1 \le y_n$

$$F(y_1,y_n) = \Pr(Y_1\le y_1\text{ and } Y_n \le y_n).\tag{1}$$

Los valores de son obviamente o en caso de que o esté fuera del intervalo , así que supongamos que ambos están en este intervalo. (Supongamos también para evitar discutir trivialidades). En este caso, el evento puede describirse en términos de las variables originales como "al menos uno de los es menor o igual que y ninguno de los excede ". De manera equivalente, todas las encuentran en0 1 y 1 y n [ a , b ] = [ 0 , 1 ] n ≥ 2 ( 1 ) X = ( X 1 , X 2 , … , X n ) X i y 1 X i y n X i [ 0 , y n ] ( y 1 , y n$F$$0$$1$$y_1$$y_n$$[a,b] = [0,1]$$n\ge 2$$(1)$$X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$$X_i$$y_1$$X_i$$y_n$$X_i$$[0,y_n]$pero no es el caso en el que todos se encuentran . $(y_1,y_n]$

Debido a que las son independientes, sus probabilidades se multiplican y dan y , respectivamente, para estos dos eventos que acabamos de mencionar. Así, ( y n - 0 ) n = y n n ( y n - y 1 ) $X_i$$(y_n-0)^n = y_n^n$$(y_n-y_1)^n$

$$F(y_1,y_n) = y_n^n - (y_n-y_1)^n.$$

La densidad es la derivada parcial mixta de ,$f$$F$

$$f(y_1,y_n) = \frac{\partial^2 F}{\partial y_1 \partial y_n}(y_1,y_n) = n(n-1)(y_n-y_1)^{n-2}.$$

El caso general de escala las variables por el factor y cambia la ubicación por . b - a $(a,b)$$b-a$$a$ Por lo tanto, para ,$a \lt y_1 \le y_n \lt b$

$$F(y_1,y_n; a,b) = \left(\left(\frac{y_n-a}{b-a}\right)^n - \left(\frac{y_n-a}{b-a} - \frac{y_1-a}{b-a}\right)^n\right) = \frac{(y_n-a)^n - (y_n-y_1)^n}{(b-a)^n}.$$

Diferenciando como antes obtenemos

$$f(y_1,y_n; a,b) = \frac{n(n-1)}{(b-a)^n}(y_n-y_1)^{n-2}.$$

Considere la definición de integridad. Sea cualquier función medible de dos variables reales. Por definición,$g$

$$\eqalign{E[g(Y_1,Y_n)] &= \int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) f(y_1,y_n)dy_1dy_n\\ &\propto\int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) (y_n-y_1)^{n-2} dy_1dy_n.\tag{2} }$$

Necesitamos demostrar que cuando esta expectativa es cero para todos , entonces es seguro que para cualquiera .g = 0 ( a , b $(a,b)$$g=0$$(a,b)$

Aquí está tu pista. Deje sea cualquier función medible. Me gustaría expresarlo en la forma sugerida por como . Para hacer eso, obviamente debemos dividir entre . Desafortunadamente, para esto no se define cada vez que . La clave es que este conjunto tiene una medida cero, por lo que podemos descuidarlo. ( 2 ) h ( x , y ) = g ( x , y ) ( y - x ) n - 2 h ( y - x ) n - 2 n > 2 y - $h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$$(2)$$h(x,y)=g(x,y)(y-x)^{n-2}$$h$$(y-x)^{n-2}$$n\gt 2$$y-x$

En consecuencia, dado cualquier medible , defina$h$

$$g(x,y) = \left\{\matrix{h(x,y)/(y-x)^{n-2} & x \ne y \\ 0 & x=y}\right.$$

Entonces convierte$(2)$

$$\int_{y_1}^b\int_a^b h(y_1,y_n) dy_1dy_n \propto E[g(Y_1,Y_n)].\tag{3}$$

(Cuando la tarea muestra que algo es cero, podemos ignorar las constantes de proporcionalidad distintas de cero. Aquí, he caído desde el lado izquierdo).$n(n-1)/(b-a)^{n-2}$

Esta es una integral sobre un triángulo rectángulo con hipotenusa que se extiende desde a y vértice en . Denotemos tal triángulo .$(a,a)$$(b,b)$$(a,b)$$\Delta(a,b)$

Ergo , lo que necesita mostrar es que si la integral de una función arbitraria medible sobre todos los triángulos es cero, entonces para cualquier , (casi seguramente ) para todos .$h$$\Delta(a,b)$$a\lt b$$h(x,y)=0$$(x,y)\in \Delta(a,b)$

Aunque parezca que no hemos llegado más lejos, considere cualquier rectángulo totalmente contenido en el semiplano . Se puede expresar en términos de triángulos:$[u_1,u_2]\times [v_1,v_2]$$y \gt x$

$$[u_1,u_2]\times [v_1,v_2] = \Delta(u_1,v_2) \setminus\left(\Delta(u_1,v_1) \cup \Delta(u_2,v_2)\right)\cup \Delta(u_2,v_1).$$

En esta figura, el rectángulo es lo que queda del triángulo grande cuando eliminamos los triángulos rojos y verdes superpuestos (que cuentan dos veces su intersección marrón) y luego reemplazamos su intersección.

En consecuencia, puede deducir inmediatamente que la integral de sobre todos estos rectángulos es cero. $h$ Solo queda mostrar que debe ser cero (aparte de sus valores en algún conjunto de medida cero) siempre que . La prueba de esta afirmación (intuitivamente clara) depende del enfoque que desee adoptar para la definición de integración.y > $h(x,y)$$y \gt x$