¿La suma de una variable aleatoria discreta y continua es continua o mixta?

Si $X$ es discreto e es una variable aleatoria continua, ¿qué podemos decir acerca de la distribución de ? ¿Es continuo o está mezclado? $Y$ $X+Y$

¿Qué pasa con el producto ? $XY$

self-study distributions random-variable usuario666
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Respuestas:

Supongamos que asume valores con distribución discreta , donde es un conjunto numerable, y asume valores en con densidad y CDF . $X$ $k \in K$ $(p_k)_{k \in K}$ $K$ $Y$ $\mathbb R$ $f_Y$ $F_Y$

Deje que . Tenemos $Z = X + Y$

P (Z \leq z) = P (X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} P (Y \leq z - X ∣ X = k) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (z - k) p_{k},

$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$ que puede diferenciarse para obtener una función de densidad para

dada por

Z

$Z$

f_{Z} (z) = \sum_{k \in K} f_{Y} (z - k) p_{k} .

$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$

Ahora deje y suponga que . Entonces $R = X Y$ $p_0 = 0$

P (R \leq r) = P (X Y \leq r) = \sum_{k \in K} P (Y \leq r / X) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (r / k) p_{k},

$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$ que nuevamente se puede diferenciar para obtener una función de densidad.

$p_0 > 0$ $\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$ $XY$

Joris Bierkens
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$X$ $p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$ $\mathcal{X}$ $X$

f_{X} (x) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) δ (x - x_{k})

$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$

$\delta$

Si es una variable aleatoria continua, entonces $Y$ $Z := X+Y$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $Z$ $f_X$ $f_Y$

f_{Z} (z) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) f_{Y} (z - x_{k})

$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$

Rodrigo de Azevedo
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¿Por qué el voto negativo?

Rodrigo de Azevedo

Sí, también tengo curiosidad por el voto negativo

Yair Daon

X

$X$

Y

$Y$

@whuber Estoy de acuerdo con (b). Sin embargo, se dice que un RV discreto "puede considerarse como ...", por lo que creo que agrega una visión interesante.

Yair Daon

Es por eso que escribí que su respuesta es engañosa. Debido a que la pregunta se refiere a la distinción entre distribuciones discretas y continuas, y esa distinción es una cuestión de definición matemática, no de "gusto", es probable que sus esfuerzos por confundir los dos sean menos que útiles.

whuber

$X$ $Y$

Editar: Supongo que "continuo" significa "tener un pdf". Si se pretende que continuo sea sin átomos, la prueba es similar; simplemente reemplace "conjunto nulo de Lebesgue" con "conjunto de singleton" en lo que sigue.

Deja que el apoyo de $X$ $\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

Lema: $Z$ $P(Z\in E)=0$ $E$

$\square$

$X+Y$ $E$

P (X + Y \in E) = \sum_{k} P ({Y + x_{k} \in E} \cap {X = x_{k}}) \leq \sum_{k} P (Y + x_{k} \in E)

$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$

Y + x_{k} \in E

$Y+x_k\in E$

Y \in E - x_{k}

$Y\in E-x_k$

E - x_{k}

$E-x_k$

Y

$Y$

P (Y + x_{k} \in E) = 0

$P(Y+x_k\in E)=0$

X + Y

$X+Y$

Para la cuestión de los productos, se aplica la misma lógica siempre que $P(X=0)=0$ . Si $P(X=0)=1$ , entonces $XY$ es discreto con $P(XY=0)=1$ $XY$

Mike Earnest
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