En estadística, ¿debo suponer que

Estoy estudiando estadísticas y, a menudo, encuentro fórmulas que contienen el logy siempre estoy confundido si debo interpretarlo como el significado estándar de log, es decir, base 10, o si en estadística log generalmente se supone que el símbolo es el registro natural ln.

En particular, estoy estudiando la Estimación de frecuencia de Good-Turing como ejemplo, pero mi pregunta es más general.

Es seguro asumir que sin un base explícito = ln en estadísticas, porque el registro base 10 no se usa muy a menudo en estadísticas. Sin embargo, otros carteles señalan que log 10 u otras bases pueden ser comunes en otros campos, donde se aplican estadísticas, por ejemplo, la teoría de la información. Entonces, cuando lees documentos en otros campos, a veces se vuelve confuso.$\log=\ln$$\log_{10}$

La página de entropía de Wikipedia es un buen ejemplo de uso confuso del . En la misma página significan base 2, e y cualquier base. Puede averiguar por el contexto a qué se refiere, pero requiere leer el texto. Esta no es una buena manera de presentar el material. Compárelo con la página Logaritmo donde la base se muestra claramente en cada fórmula o se usa ln . Personalmente, creo que este es el camino a seguir: siempre muestra la base cuando se utiliza el signo de registro . Esto también sería compatible con ISO porque el estándar no define el uso de una base no especificada con el símbolo de registro como señaló @Henry.$\log$$e$$\ln$$\log$$\log$

Finalmente, el estándar ISO 31-11 prescribe signos y lg para logaritmos de base 2 y 10. Ambos raramente se usan en estos días. Recuerdo que usamos lg en la escuela secundaria, pero eso fue en otro siglo en otro mundo. Nunca lo he visto desde que se usa en un contexto estadístico. Ni siquiera hay una etiqueta para lb en LaTeX.$\text{lb}$$\lg$$\lg$$\text{lb}$

Depende.

Fuera de unos pocos contextos, como convertir un valor a decibelios, los logaritmos de base 10 son bastante raros en las ecuaciones. Sin embargo, las gráficas a escala logarítmica a menudo se encuentran en la base 10, aunque esto debería ser bastante fácil de verificar a partir de las etiquetas en los ejes.

En un contexto matemático, es probable que un sin adornos sea ​​el registro natural (es decir, log e o ln ). Por otro lado, la informática a menudo usa logaritmos de base 2 ( log 2 ), y no siempre están claramente marcados como tales. La buena noticia es que puede convertir trivialmente entre bases y usar la base "incorrecta" solo hará que su respuesta sea un factor constante.$\log$$\log_{e}$$\ln$$\log_2$

En el documento de 1995 de Gale "Good-Turing Without Tears" , los logaritmos en el texto en realidad son (lo dice en la página 5), ​​pero el código R / S + en el apéndice usa la función, que en realidad es log e o ln . Como @Henry señala a continuación, esto no hace una diferencia práctica.$\log_{10}$log$\log_e$$\ln$

Si me viera obligado a adivinar, aquí hay algunas heurísticas:

• Si las potencias de 2, , o 10 también están presentes, es probable que los registros tengan la base correspondiente.$e$

• Si surge de la integración de (o, más generalmente, involucra cálculo), es probable que sea un registro natural.$1/x$

• Si surge de dividir repetidamente algo por la mitad (como en la búsqueda binaria), es probable que sea . Más generalmente, algo se puede dividir entre n aproximadamente log n veces.$\log_2$$n$$\log_n$

• Los cálculos teóricos de la información generalmente usan , especialmente en el trabajo moderno. Sin embargo, puede verificar las unidades para asegurarse: bits → log 2 , nats → ln y bans → log 10 .$\log_2$$\textrm{bits} \rightarrow \log_2$$\textrm{nats} \rightarrow \ln$$\textrm{bans} \rightarrow \log_{10}$

• Encontrar el punto donde una función cae o sube a , (37% y 63%, respectivamente) de un valor inicial sugiere un registro natural.$\frac{1}{e} \textrm{ or } 1- \frac{1}{e}$

Para responder a su pregunta: no, no puede asumir una notación fija general para el logaritmo.

Una pregunta similar se discutió recientemente en SE.Math: ¿Cuál es la diferencia entre los tres tipos de logaritmos? desde un punto de vista matemático. En general, hay diferentes anotaciones que dependen de los hábitos ($\log_{10}$ seems of use in medical research) or language (for instance in German, Russian, French). Unfortunately, the same notation sometimes ends up representing different definitions. Quoting from the above SE.Math link:

Notation $\ln x$ (almost) unambiguously denotes the natural logarithm $\log_e x$ (latin: logarithmus naturalis), or logarithm in base $e$. The notation $\log x$ should be the adopted notation for the natural logarithm, and it is so in mathematics. However, it often represents the "most natural" depending on the field: I learned it as the base-$*10$ logarithm ($\log_{10}$) at school, and it is often used this way in engineering (for instance in the definition of decibels)

Quite often, if you are not concerned with the meaning of physical units (like decibels @Matt Krause), nor interested in specific rates of change (in biostatistics, the $\log$-ratio for fold-change often denotes the base-$2$ logarithm $\log_2$), it is likely that the natural logarithm ($\log_e$) is used.

For instance, in power or Box-Cox transforms (for variance stabilization), the natural logarithm appears as a limit when the exponent tends to $0$.

Going back to your initial motivation, the Good-Turing Frequency Estimation, it is interesting to read The Population Frequencies of Species and the Estimation of Population Parameters, I. J. Good, Biometrika, 1953. Here, he used logarithmms in different contexts: variable transformation for variance stabilisation (mentioning Bartlett and Anscombe), sum of harmonic series, entropy. We see that he generally uses $\log$ as the natural logarithm, and once in a while in the paper specifies $\log_e$ or $\log_{10}$, when the context requires it. For variance stabilization, or basic entropy estimation, a factor on the logarithm does not change much the result, as the outcome allows a linear change.

In the Akaike Information Criterion the base is $e$, and $\ln(\hat L)$ of the maximum likelihood $\hat L$ is being compared additively to the number of parameters $k$:

Thus it seems that if you use any other base for the logarithm in the AIC, you may end up drawing the wrong conclusion and selecting the wrong model.