Pdf del cuadrado de una variable aleatoria normal estándar [cerrado]

Te has topado con uno de los resultados más famosos de la teoría de la probabilidad y las estadísticas. Escribiré una respuesta, aunque estoy seguro de que esta pregunta ya se ha formulado (y respondido) anteriormente en este sitio.

Primero, tenga en cuenta que el pdf de $Y = X^2$ no puede ser el mismo que el de $X$ ya que $Y$ no será negativo. Para derivar la distribución de $Y$ podemos usar tres métodos, a saber, la técnica mgf, la técnica cdf y la técnica de transformación de densidad. Vamos a empezar.

Técnica de función generadora de momentos .

O técnica de función característica, lo que quieras. Tenemos que encontrar el mgf de $Y=X^2$ . Entonces necesitamos calcular la expectativa

E [e^{t X^{2}}]

$E\left[e^{tX^2}\right]$

El uso de la Ley del inconsciente estadístico , todo lo que tenemos que hacer es calcular esta integral sobre la distribución de $X$ . Por lo tanto, necesitamos calcular

\begin{aligned} E [e^{t X^{2}}] = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{t x^{2}} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x & = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp {- \frac{x^{2}}{2} (1 - 2 t)} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{{(1 - 2 t)}^{1 / 2}}{{(1 - 2 t)}^{1 / 2}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp {- \frac{x^{2}}{2} (1 - 2 t)} d t \\ = {(1 - 2 t)}^{- 1 / 2}, t < \frac{1}{2} \end{aligned}

$\begin{align} E\left[e^{tX^2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{tx^2} e^{-\frac{x^2}{2}} dx &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left( 1-2t \right)^{1/2}}{\left( 1-2t \right)^{1/2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \left(1-2t\right)^{-1/2} , \quad t<\frac{1}{2} \end{align}$

donde en la última línea hemos comparado la integral con una integral gaussiana con media cero y varianza $\frac{1}{\left(1-2t\right)}$ . Por supuesto, esto se integra a uno sobre la línea real. ¿Qué puedes hacer con ese resultado ahora? Bueno, puede aplicar una transformación inversa muy compleja y determinar el pdf que corresponde a este MGF o simplemente puede reconocerlo como el MGF de una distribución chi-cuadrado con un grado de libertad. (Recuerde que una distribución chi-cuadrado es un caso especial de una distribución gamma con $\alpha = \frac{r}{2}$ , $r$ son los grados de libertad, y $\beta = 2$ ).

Técnica de CDF

Esta es quizás la cosa más fácil que puede hacer y Glen_b lo sugiere en los comentarios. De acuerdo con esta técnica, calculamos

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (| X | \leq \sqrt{y})

$F_Y (y) = P(Y\leq y) = P(X^2 \leq y) = P(|X|\leq \sqrt{y})$

y dado que las funciones de distribución definen las funciones de densidad, después de obtener una expresión simplificada, simplemente diferenciamos con respecto a $y$ para obtener nuestro pdf. Tenemos entonces

\begin{aligned} F_{Y} (y) = P (| X | \leq \sqrt{y}) = P (- \sqrt{y} < X < \sqrt{y}) = Φ (\sqrt{y}) - Φ (- \sqrt{y}) \end{aligned}

$\begin{align} F_Y (y) = P\left( |X|\leq \sqrt{y} \right) = P\left(-\sqrt{y} < X <\sqrt{y} \right) = \Phi\left(\sqrt{y}\right) - \Phi \left(- \sqrt{y}\right) \end{align}$

donde $\Phi(.)$ denota el CDF de una variable normal estándar. Diferenciando con respecto a $y$ obtenemos

f_{Y} (y) = F_{Y}^{'} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} ϕ (\sqrt{y}) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} ϕ (- \sqrt{y}) = \frac{1}{\sqrt{y}} ϕ (\sqrt{y})

$f_Y(y) = F_Y^{\prime} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( \sqrt{y} \right) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( -\sqrt{y} \right) = \frac{1}{\sqrt{y}} \phi(\sqrt{y})$

donde $\phi(.)$ es ahora el pdf de una variable normal estándar y hemos utilizado el hecho de que es simétrica respecto a cero. Por lo tanto

f_{Y} (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{y}{2}}, 0 < y < \infty

$f_Y (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y}{2}}, \quad 0<y<\infty$

que reconocemos como el pdf de una distribución de chi-cuadrado con un grado de libertad (es posible que ya esté viendo un patrón).

Técnica de transformación de densidad

$Y = g(X)$ $Y$

f_{Y} (y) = | \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) | f_{X} (g^{- 1} (y))

$f_Y (y) = \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$

$y$ $g$ $X$ $Y$ $g$

$X$ $Y= g(X)$ $g$ $Y$

f_{Y} (y) = \sum | \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) | f_{X} (g^{- 1} (y))

$f_Y (y) = \sum \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$

donde la suma se ejecuta sobre todas las funciones inversas. Este ejemplo lo dejará claro.

$y = x^2$ $x = \pm \sqrt{y}$ $\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{y}} }$

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- y / 2} + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- y / 2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- y / 2}, 0 < y < \infty

$f_Y (y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2}, \quad 0<y<\infty$

El pdf de una distribución chi-cuadrado con un grado de libertad. En una nota al margen, encuentro esta técnica particularmente útil ya que ya no tiene que derivar el CDF de la transformación. Pero, por supuesto, estos son gustos personales.

Así que puedes irte a la cama esta noche completamente seguro de que el cuadrado de una variable aleatoria normal estándar sigue la distribución chi-cuadrado con un grado de libertad.

JohnK
fuente

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gung - Restablecer Monica

@gung Estoy seguro de que el OP podría haber encontrado la respuesta en cualquier lugar, esto no es exactamente innovador :)

JohnK

Eso casi siempre será cierto con las preguntas de autoestudio. Sin embargo, generalmente no proporcionamos respuestas completas a la tarea de las personas, sino que solo damos pistas para ayudarlos a resolverlo por sí mismos.

gung - Restablece a Monica

f_{Y} (y) = \frac{1}{2} F_{Y}^{'}

$f_Y(y) = \frac{1}{2}F_Y^{\prime}$

f_{Y} (y) = \frac{d}{d y} P (- y ⩽ Y ⩽ y) = f_{Y} (y) - (- f_{Y} (y)) = 2 \cdot f_{Y} (y)

$f_Y(y) = \frac{d}{dy} \mathbb{P}(-y \leqslant Y \leqslant y) = f_Y(y)-(-f_Y(y))= 2\cdot f_Y(y)$

Pdf del cuadrado de una variable aleatoria normal estándar [cerrado]

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