Varianza en la estimación de p para una distribución binomial

¿Cómo puedo calcular la varianza de p derivada de una distribución binomial? Digamos que lanzo monedas y obtengo k cabezas. Puedo estimar p como k / n, pero ¿cómo puedo calcular la varianza en esa estimación?

Estoy interesado en esto para poder controlar la varianza en mis estimaciones de relación cuando comparo puntos con diferentes números de ensayos. Estoy más seguro de la estimación de p cuando n es mayor, por lo que me gustaría poder modelar qué tan confiable es la estimación.

¡Gracias por adelantado!

ejemplo:

• 40/100. El MLE de p sería 0.4, pero ¿cuál es la varianza en p?
• 4/10. El MLE aún sería 0.4, pero la estimación es menos confiable, por lo que debería haber más varianza en p.

Si $X$ es $\text{Binomial}(n, p)$ entonces MLE de $p$ es $\hat{p} = X/n$.

Una variable binomial puede considerarse como la suma de $n$ Variables aleatorias de Bernoulli. $X = \sum_{i=1}^n Y_i$ dónde $Y_i\sim\text{Bernoulli}(p)$.

para que podamos calcular la varianza del MLE $\hat{p}$ como

$$\begin{align*} \text{Var}[\hat{p}] &= \text{Var}\left[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i\right]\\ &= \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n Var[Y_i]\\ &= \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n p(1-p)\\ &= \dfrac{p(1-p)}{n} \end{align*}$$

Entonces puede ver que la varianza de la MLE se hace más pequeña $n$, y también es más pequeño para $p$ cerca de 0 o 1. En términos de $p$ se maximiza cuando $p=0.5$.

Para algunos intervalos de confianza, puede consultar Intervalos de confianza binomiales