¿Sigue siendo válido el teorema de Slutsky cuando dos secuencias convergen en una variable aleatoria no degenerada?

Estoy confundido acerca de algunos detalles sobre el teorema de Slutsky :

Sean , dos secuencias de elementos aleatorios escalares / vectoriales / matriciales.$\{X_n\}$$\{Y_n\}$

Si converge en distribución a un elemento aleatorio e converge en probabilidad a una constante , entonces siempre que sea ​​invertible, donde denota convergencia en la distribución.$X_n$$X$$Y_n$$c$

$$\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, }$$ $c$${\xrightarrow {d}}$

Si ambas secuencias en el teorema de Slutsky convergen en una variable aleatoria no degenerada, ¿el teorema sigue siendo válido y, de no ser así (¿alguien podría proporcionar un ejemplo?), ¿Cuáles son las condiciones adicionales para que sea válido?

El teorema de Slutsky no se extiende a dos secuencias que convergen en distribuciones a una variable aleatoria. Si converge en distribución a , bien puede fallar a converger o puede converger a algo más que .$Y_n$$Y$$X_n+Y_n$$X+Y$

Por ejemplo, si para todos los 's, no converge a la diferencia de dos rv de con misma distribución que .$Y_n=-X_n$$n$$X_n+Y_n$$X$

Otro contraejemplo es que, cuando las secuencias y son independientes y ambas convergen en distribución a una variable normal , si se define y , luego Consulte la respuesta de Davide para obtener más detalles sobre este ejemplo.$\{X_n\}$$\{Y_n\}$$\text{N}(0,1)$$X_1\sim\text{N}(0,1)$$X_2=-X_1$

Suponga que es un vector centrado en Gauss cuya matriz de covarianza es con . Defina e para . Luego e , donde e son variables aleatorias normales estándar. Sin embargo, es gaussiano, centrado y su varianza es . Como no se sabe nada sobre la distribución de , no podemos afirmar que en la distribución.$(X_0,Y_0)$$\pmatrix{1&\rho\\ \rho&1}$$|\rho|\leqslant 1$$X_n:=X_0$$Y_n:=Y_0$$n\geqslant 1$$X_n\to X$$Y_n\to Y$$X$$Y$$X_n+Y_n$$2+2\rho$$X+Y$$X_n+Y_n\to X+Y$

Estos ejemplos muestran que, en general, podemos tener e en distribución, pero si no tenemos información sobre la distribución de , la convergencia puede fallar.$X_n\to X$$Y_n\to Y$$X+Y$$X_n+Y_n\to X+Y$

Por supuesto, todo está bien si en distribución (por ejemplo, si es independiente de y de En general, solo podemos afirmar que la secuencia es ajustado (es decir, para cada positivo , podemos encontrar tal que ). Esto implica que podamos encontrar una secuencia creciente de números enteros tal que converge en distribución a cierta variable aleatoria .$(X_n,Y_n)\to (X,Y)$$X_n$$Y_n$$X$$Y$$(X_n+Y_n)_{n\geqslant 1}$$\varepsilon$$R$$\sup_n\mathbb P\{|X_n+Y_n|\gt R\}\lt \varepsilon$$(n_k)_{k\geqslant 1}$$(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$$Z$

Proposición. Existen secuencias de variables aleatorias gaussianas e modo que para cualquier , podemos encontrar una secuencia creciente de enteros tal que converge en distribución a .$(X_n)_{n\geqslant 1}$$(Y_n)_{n\geqslant 1}$$\sigma\in [0,2]$$(n_k)_{k\geqslant 1}$$(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$$N(0,\sigma^2)$

Prueba. Considere una enumeración de números racionales de y una biyección . Para , defina como un vector gaussiano de matriz de covarianza . Con esta elección, uno puede ver que la conclusión de la proposición se satisface cuando es racional. Use un argumento de aproximación para el caso general.$(r_j)$$[-1,1]$$\tau\colon \mathbb N\to \mathbb N^2$$n\in \tau^{-1}(\{j\})\times\mathbb N$$(X_n,Y_n)$$\pmatrix{1&r_j\\ r_j&1}$$\sigma$