Expectativa de un producto de

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Deje y , . ¿Cuál es la expectativa de como ?X1U[0,1]XiU[Xi1,1]i=2,3,...X1X2Xnn

utilizado por quién
fuente
77
Una observación pedante: ¿ intención de significar ? Alternativamente, podría significar acondicionamiento solo en , es decir, . Pero como este último no especifica completamente la distribución conjunta de los s, no está claro de inmediato si la expectativa se determina de manera única. XiU[Xi1,1]XiX1,,Xi1U[Xi1,1]Xi1XiXi1U[Xi1,1]Xi
Juho Kokkala
Creo que, en teoría, debería estar condicionado a todos los anteriores hasta . Sin embargo, dado podemos obtener la distribución para . Así que no estoy muy seguro de esto. X i - 1 X i - 1 X iXiXi1Xi1Xi
usedbywho
@JuhoKokkala Como se indicó, no importa si condiciona las variables antes de Xi1 porque no cambiarían el hecho de que Xi es uniforme [Xi1,1] . La distribución de (X1,,Xn) parece perfectamente bien definida.
dsaxton
@dsaxton Si solo asumimos X1U(0,1) y , sigue siendo posible queXiXi1U(Xi1,1),i=2,3,...X1 yX3 no sean condicionalmente independientes condicionales enX2 . Por lo tanto, la distribución de(X1,X2,X3) no está bien definida.
Juho Kokkala
@JuhoKokkala Si te digo que X2=t , ¿cuál es la distribución de X3 ? Si puede responder la pregunta sin siquiera pensar en X1 , ¿cómo pueden depender X1 y X3 dado X2 ? Observe también cómo otros carteles no han tenido problemas para simular esta secuencia.
dsaxton

Respuestas:

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La respuesta es de hecho 1/e , como se adivinó en las respuestas anteriores basadas en simulaciones y aproximaciones finitas.

La solución se llega fácilmente introduciendo una secuencia de funciones fn:[0,1][0,1] . Aunque podríamos proceder a ese paso de inmediato, puede parecer bastante misterioso. La primera parte de esta solución explica cómo se pueden cocinar estos fn(t) . La segunda parte muestra cómo se explotan para encontrar una ecuación funcional satisfecha por la función limitante f(t)=limnfn(t). La tercera parte muestra los cálculos (de rutina) necesarios para resolver esta ecuación funcional.


1. Motivación

Podemos llegar a esto aplicando algunas técnicas estándar de resolución de problemas matemáticos. En este caso, donde algún tipo de operación se repite hasta el infinito, el límite existirá como un punto fijo de esa operación. La clave, entonces, es identificar la operación.

La dificultad es que el movimiento de a E [ X 1 X 2X n - 1 X n ] parece complicado. Es más simple ver este paso como resultado de la unión de X 1 a las variables ( X 2 , ... , X n ) en lugar de la unión de X n a las variables ( X 1 ,E[X1X2Xn1]E[X1X2Xn1Xn]X1(X2,,Xn)Xn . Si tuviéramos que considerar ( X 2 , ... , X n ) como construido como se describe en la pregunta, con X 2 uniformemente distribuido en [ 0 , 1 ] , X 3 uniformemente distribuido uniformemente en [ X 2 , 1 ] , y así sucesivamente - a continuación, la introducción de X 1 hará que cada uno de la posterior X i a(X1,X2,,Xn1)(X2,,Xn)X2[0,1]X3[X2,1]X1Xireducir por un factor de hacia el límite superior 11X11 . Este razonamiento conduce naturalmente a la siguiente construcción.

Como cuestión preliminar, dado que es un poco más simple reducir los números hacia que hacia 1 , sea Y i = 1 - X i . Por lo tanto, Y 1 se distribuye uniformemente en [ 0 , 1 ] e Y i + 1 se distribuye uniformemente en [ 0 , Y i ] condicional a ( Y 1 , Y 2 , ... , Y i ) para todo i01Yi=1XiY1[0,1]Yi+1[0,Yi](Y1,Y2,,Yi) Nos interesan dos cosas:i=1,2,3,.

  1. El valor límite de .E[X1X2Xn]=E[(1Y1)(1Y2)(1Yn)]

  2. Cómo se comportan estos valores cuando se reducen todas las uniformemente hacia 0 : es decir, escalando todas ellas por algún factor común t , 0 t 1 .Yi0t0t1

Para este fin, defina

fn(t)=E[(1tY1)(1tY2)(1tYn)].

Claramente cada se define y continuo (infinitamente diferenciable, en realidad) para todos reales t . Nos centraremos en su comportamiento para t [ 0 , 1 ] .fntt[0,1]


2. El paso clave

Lo siguiente es obvio:

  1. Cada es una función monotónicamente decreciente de [ 0 , 1 ] a [ 0 , 1 ] .fn(t)[0,1][0,1]

  2. para todos los n .fn(t)>fn+1(t)n

  3. para todo n .fn(0)=1n

  4. E(X1X2Xn)=fn(1).

Estos implican que existe para todo t [ 0 , 1 ] y f ( 0 ) = 1 .f(t)=limnfn(t)t[0,1]f(0)=1

Observe que, condicional en , la variable Y 2 / Y 1 es uniforme en [ 0 , 1 ] y las variables Y i + 1 / Y 1 (condicional en todas las variables anteriores) son uniformes en [ 0 , Y i / Y 1 ] : es decir, ( Y 2 / Y 1 , Y 3 / Y 1 , , Y nY1Y2/Y1[0,1]Yi+1/Y1[0,Yi/Y1] satisface con precisión las condiciones satisfechas por ( Y 1 , ... , Y n - 1 ) . (Y2/Y1,Y3/Y1,,Yn/Y1)(Y1,,Yn1) Por consiguiente

fn(t)=E[(1tY1)E[(1tY2)(1tYn)|Y1]]=E[(1tY1)E[(1tY1Y2Y1)(1tY1YnY1)|Y1]]=E[(1tY1)fn1(tY1)].

Esta es la relación recursiva que estábamos buscando.

En el límite como lo tanto, debe darse el caso de que para Y distribuido uniformemente en [ 0 , 1 ] independientemente de todos los Y i ,nY[0,1]Yi

f(t)=E[(1tY)f(tY)]=01(1ty)f(ty)dy=1t0t(1x)f(x)dx.

Es decir, debe ser un punto fijo de la L funcional para la cualfL

L[g](t)=1t0t(1x)g(x)dx.

3. Cálculo de la solución

Despeja la fracción multiplicando ambos lados por t . Debido a que el lado derecho es una integral, podemos diferenciarlo con respecto a t , dando1/ttt

f(t)+tf(t)=(1t)f(t).

De manera equivalente, al restar y dividir ambos lados por t ,f(t)t

f(t)=f(t)

para . Podemos extender esto por continuidad para incluir t = 0 . Con la condición inicial (3) f ( 0 ) = 1 , la solución única es0<t1t=0f(0)=1

f(t)=et.

En consecuencia, por (4), la expectativa limitante de es f ( 1 ) = e - 1 = 1 / e , QED.X1X2Xnf(1)=e1=1/e


Debido a que Mathematica parece ser una herramienta popular para estudiar este problema, aquí hay un código de Mathematica para calcular y trazar para n pequeña . La gráfica de f 1 , f 2 , f 3 , f 4 muestra una convergencia rápida a e - t (se muestra como el gráfico negro).fnnf1,f2,f3,f4et

a = 0 <= t <= 1;
l[g_] := Function[{t}, (1/t) Integrate[(1 - x) g[x], {x, 0, t}, Assumptions -> a]];
f = Evaluate@Through[NestList[l, 1 - #/2 &, 3][t]]
Plot[f, {t,0,1}]

Figura

whuber
fuente
3
(+1) Hermoso análisis.
cardenal
Gracias por compartir eso con nosotros. ¡Hay algunas personas realmente brillantes por ahí!
Felipe Gerard
4

Actualizar

Creo que es una apuesta segura que la respuesta es . Ejecuté las integrales para el valor esperado de n = 2 a n = 100 usando Mathematica y con n = 100 obtuve1/en=2n=100n=100

0.367879441171442321595523770161567628159853507344458757185018968311538556667710938369307469618599737077005261635286940285462842065735614

(hasta 100 decimales). El recíproco de ese valor es

2.718281828459045235360287471351873636852026081893477137766637293458245150821149822195768231483133554

La diferencia con ese recíproco y ese

-7.88860905221011806482437200330334265831479532397772375613947042032873*10^-31

Creo que está demasiado cerca, me atrevo a decir, para ser una coincidencia racional.

El código de Mathematica sigue:

Do[
 x = Table[ToExpression["x" <> ToString[i]], {i, n}];
 integrand = Expand[Simplify[(x[[n - 1]]/(1 - x[[n - 1]])) Integrate[x[[n]], {x[[n]], x[[n - 1]], 1}]]];
 Do[
   integrand = Expand[Simplify[x[[i - 1]] Integrate[integrand, {x[[i]], x[[i - 1]], 1}]/(1 - x[[i - 1]])]],
   {i, n - 1, 2, -1}]
  Print[{n, N[Integrate[integrand, {x1, 0, 1}], 100]}],
 {n, 2, 100}]

Fin de la actualización

Esto es más un comentario extendido que una respuesta.

Si tomamos una ruta de fuerza bruta determinando el valor esperado para varios valores de , tal vez alguien reconocerá un patrón y luego podrá tomar un límite.n

Para , tenemos el valor esperado del producto que se están=5

μn=01x11x21x31x41x1x2x3x4x5(1x1)(1x2)(1x3)(1x4)dx5dx4dx3dx2dx1

que es 96547/259200 o aproximadamente 0.3724807098765432.

Si bajamos la integral de 0 a 1, tenemos un polinomio en con los siguientes resultados para n = 1 a n = 6 (y he bajado el subíndice para que las cosas sean un poco más fáciles de leer):x1n=1n=6

x

(x+x2)/2

(5x+5x2+2x3)/12

(28x+28x2+13x3+3x4)/72

(1631x+1631x2+791x3+231x4+36x5)/4320

(96547x+96547x2+47617x3+14997x4+3132x5+360x6)/259200

Si alguien reconoce la forma de los coeficientes enteros, entonces quizás se pueda determinar un límite como (después de realizar la integración de 0 a 1 que se eliminó para mostrar el polinomio subyacente).n

JimB
fuente
es bellamente elegante! :)1/e
wolfies
4

Buena pregunta. Solo como un comentario rápido, me gustaría señalar que:

  • Xn convergerá a 1 rápidamente, por lo que para la comprobación de Monte Carlo, establecern=1000 será más que suficiente.

  • Si Zn=X1X2Xn , entonces por simulación de Monte Carlo, como n , E[Zn]0.367 .

  • El siguiente diagrama compara el pdf simulado de Monte Carlo de Zn con una distribución de función de potencia [es decir, un Beta (a, 1) pdf)]

f(z)=aza1

... aquí con el parámetro a=0.57 :


(fuente: tri.org.au )

dónde:

  • la curva azul denota el pdf 'empírico' de Monte Carlo de Zn
  • la curva discontinua roja es un pdf PowerFunction.

El ajuste parece bastante bueno.

Código

Aquí hay 1 millón de dibujos pseudoaleatorios del producto Zn (digamos con n=1000 ), aquí usando Mathematica :

data = Table[Times @@ NestList[RandomReal[{#, 1}] &, RandomReal[], 1000], {10^6}];

La media muestral es:

 Mean[data]

0.367657

lobos
fuente
¿Puedes compartir tu código completo? Mi solución difiere de la tuya.
1
10100xn
1
n
XiX1=0.1X60Xnn=1000n=5000nn=100Xn
0

Puramente intuitivo, y basado en la otra respuesta de Rusty, creo que la respuesta debería ser algo como esto:

n = 1:1000
x = (1 + (n^2 - 1)/(n^2)) / 2
prod(x)

0.3583668X(a,1)a01/2,(1+3/4)/2,(1+8/9)/2

Esto es solo intuición.


El problema con la respuesta de Rusty es que U [1] es idéntico en cada simulación. Las simulaciones no son independientes. Una solución para esto es fácil. Mueva la línea con U[1] = runif(1,0,1)dentro del primer bucle. El resultado es:

set.seed(3)    #Just for reproducibility of my solution

n = 1000    #Number of random variables
S = 1000    #Number of Monte Carlo samples

Z = rep(NA,S)
U = rep(NA,n)

for(j in 1:S){
    U[1] = runif(1,0,1)
    for(i in 2:n){
        U[i] = runif(1,U[i-1],1)
    }
    Z[j] = prod(U)
}

mean(Z)

Esto da 0.3545284.

Jessica
fuente
1
Muy simple arreglo! Supongo que es cierto, ¡siempre hay un error en el código! Anotaré mi respuesta.
1
Sí, eso era exactamente lo que esperaba que sucediera dado que conecta los valores esperados como los límites inferiores.
1
S=100000.3631297