¿Cuál es la autocorrelación para una caminata aleatoria?

Parece que es realmente alto, pero esto es contradictorio para mí. ¿Alguien puede explicar? Estoy muy confundido con este problema y agradecería una explicación detallada y perspicaz. ¡Muchas gracias por adelantado!

(Escribí esto como respuesta a otra publicación, que se marcó como un duplicado de esta mientras estaba componiendo; pensé que lo publicaría aquí en lugar de tirarlo. Parece que dice cosas bastante similares a las de Whuber respuesta, pero es lo suficientemente diferente como para que alguien pueda obtener algo de esta).

Una caminata aleatoria tiene la forma$y_t = \sum_{i=1}^t \epsilon_i$

Tenga en cuenta que$y_t = y_{t-1}+ \epsilon_t$

Por lo tanto, .$\text{Cov}(y_t,y_{t-1})=\text{Cov}(y_{t-1}+ \epsilon_t,y_{t-1})=\text{Var}(y_{t-1})$

También tenga en cuenta que$\sigma^2_t=\text{Var}(y_t) = t\,\sigma^2_\epsilon$

En consecuencia, .$\text{corr}(y_t,y_{t-1})=\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_{t-1}\sigma_t} =\frac{\sigma_{t-1}}{\sigma_t}=\sqrt{\frac{t-1}{t}}=\sqrt{1-\frac{1}{t}}\approx 1-\frac{1}{2t}$

Es decir, debería ver una correlación de casi 1 porque tan pronto como comienza a , e son casi exactamente lo mismo: la diferencia relativa entre ellos tiende a ser bastante pequeña.y t y t - $t$$y_t$$y_{t-1}$

Puede ver esto más fácilmente al trazar vs .y t - $y_t$$y_{t-1}$

Ahora podemos verlo de forma algo intuitiva: imagine que ha reducido a (como vemos en mi simulación de una caminata aleatoria con término de ruido normal estándar). Entonces estará bastante cerca de ; podría ser o podría ser pero es casi seguro que esté dentro de unas pocas unidades de . Entonces, a medida que la serie se mueve hacia arriba y hacia abajo, la gráfica de vs casi siempre se mantendrá dentro de un rango bastante estrecho de la línea ... pero a medida que crezca, los puntos cubrirán más y tramos mayores a lo largo de que - 20 y t - 20 - 22 - 18.5 - 20 y t y t $y_{t-1}$$-20$$y_t$$-20$$-22$$-18.5$$-20$$y_t$ y=xty=x$y_{t-1}$$y=x$$t$$y=x$línea (la extensión a lo largo de la línea crece con , pero la extensión vertical permanece más o menos constante); la correlación debe acercarse a 1.$\sqrt{t}$

En el contexto de su pregunta anterior , una "caminata aleatoria" es una realización de una caminata aleatoria binomial. La autocorrelación es la correlación entre el vector y el vector de los siguientes elementos .( x 0 , x 1 , … , x n - 1$(x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$$(x_1,x_2, \ldots, x_n)$

La construcción misma de una caminata aleatoria binomial hace que cada difiera de cada en una constante. $x_{i+1}$$x_i$ Después de correr la caminata por un tiempo, los valores de se habrán alejado del valor inicial y, por lo tanto, generalmente cubrirán un buen rango, generalmente proporcional a de longitud. Por lo tanto, el diagrama de dispersión lag-1 de los pares consistirá en puntos que se encuentran solo en las líneas , estando en promedio cerca de la línea . Los residuos estarán cerca dex 0 $x_i$$x_0$ (xi,x i + 1 )y=x±1y=x±11($\sqrt{n}$$(x_i, x_{i+1})$$y=x\pm 1$$y=x$$\pm 1$. Por lo tanto, en la gran mayoría de las realizaciones, la varianza de los residuos (aproximadamente ) en comparación con la varianza de los valores (aproximadamente en el orden de ) será pequeña . Esperaríamos que sea ​​aproximadamente$1$R$(\sqrt{n}/2)^2 = n/4$$R^2$

$$R^2 \approx 1 - \frac{1}{n/4} = 1 - \frac{4}{n}.$$

Aquí hay una imagen de pasos en una caminata aleatoria (a la izquierda) y su diagrama de dispersión lag-1 (a la derecha). La codificación de colores se utiliza para ayudarlo a encontrar los puntos correspondientes en las dos parcelas. Observe que está muy cerca de en este caso.R 2 1 - 4 /$n=1000$$R^2$$1 - 4/n$

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Aquí está el Rcódigo que produjo las imágenes.

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))