Probar / refutar

Probar / refutar $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{or} \ 1 \ \text{a.s.} \ \Rightarrow E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.}$

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Dado un espacio de probabilidad filtrado $(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \mathbb{P})$ , dejar que $A \in \mathscr{F}$ .

Supongamos que

$$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1 \ \text{a.s.}$$ ¿Se deduce que $$E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.} \ \forall s > t \ ?$$ ¿Qué pasa con $\forall s < t$ ?

¿Qué pasa si en cambio

$$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{a.s.} \ ?$$ O qué pasa si $$E[1_A | \mathscr{F_t}] = p \ \text{a.s.} \ \text{for some} \ p \in (0,1) \ ?$$

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Lo que probé:

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Si E [ 1 A | F t ] = 1 , luego E [ 1 A ] = 1 , que es lo mismo que 1 A = 1 (casi seguro). En este caso E [ 1 A | F s ] = 1 (casi seguro) para cada s .$\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=1$$\Bbb E[1_A]=1$$1_A=1$$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=1$$s$

Del mismo modo, si E [ 1 A | F t ] = 0 , luego E [ 1 A ] = 0 , que es lo mismo que 1 A = 0 (casi seguro). En este caso E [ 1 A | F s ] = 0 (casi seguro) para cada s .$\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=0$$\Bbb E[1_A]=0$$1_A=0$$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=0$$s$

Si E [ 1 A | F t ] = p , para una constante p ∈ ( 0 , 1 ) , entonces tenemos$\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=p$$p\in(0,1)$

E [ 1 A | F s ] = E [ E [ 1 A | F t ] | F s ] = E [ p | F s ] = p . Esto puede fallar si s > t .$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=E[E[1_A|\mathscr F_t]|\mathscr F_s] = E[p|\mathscr F_s] = p$$s>t$

Alternativamente para = p caso:$= p$

Deje F ser una variable aleatoria F t -medida limitada .$F$$\mathscr F_t$

$$\Bbb E[1_A\cdot F]=\Bbb E[E[1_A\cdot F|\mathscr F_t]]=\Bbb E[F\cdot E[1_A|\mathscr F_t]]$$

$$=\Bbb E[p\cdot F]=p\Bbb E[F]=\Bbb E[1_A]\cdot\Bbb E[F]$$

lo que significa que 1 A y F son independientes. En otras palabras, σ ( A ) y F t son independientes. Entonces σ ( A ) y F s también son independientes si s < t y por lo tanto E [ 1 A | F s ] = E [ 1 A ] = p . Esto puede fallar si s > t .$1_A$$F$$\sigma(A)$$\mathscr F_t$$\sigma(A)$$\mathscr F_s$$s<t$$E[1_A|\mathscr F_s] = E[1_A] = p$$s>t$

Supongo que la idea es que una constante es independiente de F s y F s medible$\mathscr F_s$$\mathscr F_s$ .

Su argumento parece ser válido, pero comienza asumiendo que E [ 1 A | F t ] = 1 . Sin embargo, la pregunta establece que E [ 1 A | F t ] ∈ { 0 , 1 } , que tomaría para significar que la variable aleatoria E [ 1 A | F t ] toma valores en el conjunto { 0 , 1 } es decir E [ 1 A | $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1$$E[1_A | \mathscr{F_t}] \in \{0, 1\}$$E[1_A | \mathscr{F_t}]$$\{0, 1\}$t ]= 1 B dondeB∈ F t . La propiedad definitoria de esta expectativa condicional es que ∫ F 1 B d P = ∫ F 1 A d P para todos losF∈ F t . En particular, tomarF=Bconduce aP(B)=P(A∩B), de donde podemos concluir queB⊂$E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_B$$B\in\mathscr{F_t}$$\int_F 1_B d\mathbb{P}=\int_F 1_A d\mathbb{P}$$F\in\mathscr{F_t}$$F=B$$P(B)=P(A\cap B)$$B\subset A$(excepto posiblemente en un conjunto de probabilidad cero). Sin embargo, también sabemos (como en el argumento que ha escrito) que E [ E [ 1 A | F t ] ] = E [ 1 B ] es decir P ( A ) = P ( B ) , por lo que la única conclusión posible es que A = B (excepto posiblemente para un conjunto de probabilidad cero).$E[E[1_A | \mathscr{F_t}]] = E[1_B]$$P(A)=P(B)$$A=B$

Para s > t , F t ⊂ F s , entonces la ley de la torre para expectativas condicionales implica que E [ 1 A | F t ] = E [ E [ 1 A | F t ] | F s ] . Pero E [ 1 A | F t ] = 1 A , entonces E [ 1 A | F s ] $s\gt t$$\mathscr{F_t}\subset\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_t}]=E[E[1_A | \mathscr{F_t}] | \mathscr{F_s}]$$E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_A$1 A . Entonces, todas las expectativas condicionales para s > t son iguales (a 1 A ). Para s < t , si A ∈ F s aún tendremos E [ 1 A | F s ] = 1 A . Por otro lado, si volvemos a una época en la que A no está en F s , entonces no creo que se pueda decir nada sobre E [ 1 A | F s$E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$$s>t$$1_A$$s<t$$A\in\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$$A$$\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_s}]$en general. Para un ejemplo concreto, vea este documento , Figura 1. Tomar A = { ω 2 } ∈ F 2 ∖ F 1 , por ejemplo, da la secuencia de expectativas condicionales E [ 1 A | F 0 ] = $A=\{\omega_2\}\in\mathscr{F_2}\setminus\mathscr{F_1}$8 1Ω,E[1A| F1]=$E[1_A | \mathscr{F_0}]=\frac{1}{8} 1_\Omega$2 1{ω1,ω2},E[1A| F2]=1{ω2},E[1A| F3]=1{ω2}.$E[1_A | \mathscr{F_1}]=\frac{1}{2}1_{\{\omega_1,\omega_2\}}$$E[1_A | \mathscr{F_2}]=1_{\{\omega_2\}}$$E[1_A | \mathscr{F_3}]=1_{\{\omega_2\}}$