invariancia de correlación a transformación lineal:

Este es realmente uno de los problemas en la 4a edición de Econometría Básica de Gujarati (Q3.11) y dice que el coeficiente de correlación es invariante con respecto al cambio de origen y escala, es decir, donde a , b , c , d son constantes arbitrarias.

$$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$$ $a$$b$$c$$d$

Pero mi pregunta principal es la siguiente: deje que e Y sean observaciones emparejadas y suponga que X e Y están positivamente correlacionadas, es decir, corr ( X , Y ) > 0 . Sé que corr ( - X , Y ) sería negativo según la intuición. Sin embargo, si tomamos a = - 1 , b = 0 , c = 1 , d = 0 , se deduce que corr ( $X$$Y$$X$$Y$$\text{corr}(X,Y)>0$$\text{corr}(-X,Y)$$a=-1, b=0, c=1, d=0$ que no tiene sentido.

$$\text{corr}(-X,Y) = \text{corr}(X,Y) >0$$

Agradecería si alguien puede señalar la brecha. Gracias.

$$\text{corr}(X,Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\text{var}(X)^{1/2}\,\text{var}(Y)^{1/2}}$$ $$\text{cov}(aX+b,cY+d)=ac\,\text{cov}(X,Y)$$ $$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$$ $a$$c$$ac>0$