¿Cómo calcular para estadísticas de orden de una distribución uniforme?

Estoy tratando de resolver un problema para mi tesis y no veo cómo hacerlo. Tengo 4 observaciones tomadas al azar de una distribución uniforme . Quiero calcular la probabilidad de que . es la estadística de orden iésima (tomo la estadística de orden para que mis observaciones se clasifiquen de menor a mayor). Lo he resuelto para un caso más simple, pero aquí estoy perdido en cómo hacerlo.$(0,1)$$3 X_{(1)}\ge X_{(2)}+X_{(3)}$$X_{(i)}$

Toda ayuda sería bienvenida.

Escriba las estadísticas del pedido como , . Comience por señalar que implica$(x_1,x_2,x_3,x_4)$$0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$$x_1 \le x_2$

$$\Pr[3x_1 \ge x_2+x_3] = 1 - \Pr[3x_1 \lt x_2+x_3] = 1 - \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})].$$

Este último evento se divide en dos eventos disjuntos dependiendo de cuál de y es el más grande:$x_2$$(x_2+x_3)/2$

$$\eqalign{ \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})] &= \Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] \\ &+ \Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]. }$$

¡Porque la distribución conjunta es uniforme en el conjunto , con densidad ,$0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$$4! dx_4 dx_3 dx_2 dx_1$

$$\Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] = 4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_0^{x_3/2} dx_2 \int_0^{x_2} dx_1 = \frac{1}{4}$$

y

$$\Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]=4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_{x_3/2}^{x_3} dx_2 \int_0^{(x_2+x_3)/2} dx_1 = \frac{7}{12}.$$

(Cada integral es fácil de realizar como una integral iterada; solo están involucradas integraciones polinómicas).

La probabilidad deseada por lo tanto es igual a = .$1 - (1/4 + 7/12)$$1/6$

Editar

Una solución más inteligente (que simplifica el trabajo) deriva del reconocimiento de que cuando tiene iid Distribuciones exponenciales, , luego (escribiendo ) , las sumas parciales escaladas$y_j$$1\le j\le n+1$$y_1+y_2+\cdots+y_{n+1} = Y\ $

$$x_i = \sum_{j=1}^{i}y_j/Y,$$

$1\le i\le n$ , se distribuyen como las estadísticas de orden uniforme. Debido a que es casi seguro positivo, se deduce fácilmente que para cualquier ,$Y$ $n\ge 3$

$$\eqalign{ \Pr[3x_1\ge x_2+x_3] &= \Pr[\frac{3y_1}{Y}\ge\frac{y_1+y_2}{Y}+\frac{y_1+y_2+y_3}{Y}]\\ &=\Pr[3y_1\ge(y_1+y_2)+(y_1+y_2+y_3)]\\ &= \Pr[y_1\ge 2y_2+y_3]\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2) \int_{2y_2+y_3}^\infty \exp(-y_1) dy_1 dy_2 dy_3\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2)\left[\exp(-2y_2-y_3)\right]dy_2 dy_3 \\ &= \int_0^\infty \exp(-2y_3)dy_3 \int_0^\infty \exp(-3y_2)dy_2 \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. }$$