Probar una secuencia disminuye (respaldado por trazar una gran cantidad de pts)

Muchas de las preguntas que publiqué en SE en el último mes han tenido como objetivo ayudarme a resolver este problema en particular. Todas las preguntas han sido respondidas, pero todavía no puedo encontrar una solución. Entonces, pensé que debería preguntar el problema que estoy tratando de resolver directamente.

Sea , donde F n = ( 1 - ( 1 - F n - 1 ) c ) c , F 0 = x , c ≥ 2 (entero), y cada F n es un cdf sobre ( 0 , 1 ) .$X_n \sim F_n$$F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$$F_0 = x$$c\geq 2$$F_n$$(0,1)$

¡Quiero demostrar que disminuye con n para todo c (o incluso, para cualquier c en particular )! Puedo mostrar que F n converge a una masa de Dirac en la solución única para x c = ( 1 - ( 1 - x ) c ) c ) Para c = 2 , x 2 = ( 3 - $\mathbb{E}X_n$$n$$c$$c$$F_n$$x_c = (1-(1-x)^c)^c)$$c=2$. Cuando se observa una gráfica de cdfs para aumentarn's para la mismac, todos los cdfs se cruzan enxn. El valor deF(x)disminuye para valores dexmenores quexny aumenta para valores dexmayores quexn(a medida quenaumenta) que convergen a una línea vertical enxn.$x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$$n$$c$$x_n$$F(x)$$x$$x_n$$x$$x_n$$n$$x_n$

A continuación se muestra una gráfica de para n = 1 a 40 para c = 2 a 7 . Por supuesto, es una trama discreta, pero tengo las líneas unidas para facilitar la visualización. Para generar esta gráfica, utilicé NIntegrate en Mathematica, aunque necesitaba hacerlo en 1 - F - 1 n , ya que por alguna razón Mathematica no pudo generar respuestas en valores altos de n para la función original. Los dos deben ser equivalentes, según el teorema de Young, ∫ 1 0 F ( x $\mathbb{E}X_n$$n = 1$$40$$c = 2$$7$$1-F^{-1}_n$$n$ . En mi caso, F - 1 n ( x ) = 1 - ( 1 - ( F - 1 n - 1 ) $\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$ ,F - 1 n=x.$F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$$F^{-1}_n = x$

$EX_n$$x_c$$c$

$EX_n$$n$$c$$c$

Esto ha sido respondido en MO por Pietro Majer aquí .