Interpretar los coeficientes de regresión después de varias diferencias

Hay algunas explicaciones que puedo encontrar que describen cómo interpretar los coeficientes de regresión lineal después de diferenciar una serie de tiempo (para eliminar una raíz unitaria). ¿Es tan simple que no hay necesidad de decirlo formalmente?

(Soy consciente de esta pregunta , pero no estaba seguro de cuán general fue su respuesta).

Digamos que estamos interesados ​​en el modelo donde es posiblemente ARMA (p, q). Son los , , ... que son de interés. Específicamente, la interpretación en términos de "un cambio de 1 unidad en resulta en un cambio promedio en de " para$Y_{t}=\beta_{0}+\beta_{1}X_{1t}+\beta_{2}X_{2t} + +...+\beta_{p}X_{pt}+ \delta_{t}$$\delta_{t}$$\beta_{1}$$\beta_{2}$$\beta_{p}$$X_{i}$$Y_{t}$$\beta_{i}$$i = 1...p.$

Ahora digamos que necesitamos diferenciar debido a la sospecha de no estacionariedad de una raíz unitaria (por ejemplo, Prueba ADF). También necesitamos diferenciar de la misma manera, cada una de las .$Y_{t}$$X_{it}$

¿Cuál es la interpretación de si:$\beta_{i}$

1. La primera diferencia se toma de y cada una de las ?$Y'_{t}$$Y_{t}$$X_{it}$
2. La segunda diferencia (diferencia de la diferencia) ( ) se toma de Y_ {t} y cada una de las X_ {it} ?$Y''_{t}$$Y_{t}$$X_{it}$
3. Se toma una diferencia estacional (p. Ej. $(1-B^{12})$ para datos mensuales) de $Y_{t}$ y cada una de las $X_{it}$ ?

EDITAR 1

Encontré un texto que menciona diferencias e interpretación de coeficientes y suena muy similar a la pregunta vinculada. Esto es de Alan Pankratz Forecasting with Dynamic Regression páginas 119-120:

Tomemos un ejemplo con una variable independiente porque es más fácil de escribir.

Al comenzar desde , lo mismo vale para . $y_t=\beta_0 + \beta_1 x_t$$y_{t-1}=\beta_0 + \beta_1 x_{t-1}$

Entonces, si resto los dos, obtengo . Por lo tanto, la interpretación del coeficiente qué no cambia, es la misma en cada una de estas ecuaciones.$\Delta y= \beta_1 \Delta x$ $\beta_1$ $\beta_1$

Pero la interpretación de la ecuación no es la misma que la interpretación de la ecuación . Eso es lo que quiero decir.$y_t=\beta_0 + \beta_1 x_t$ $\Delta y= \beta_1 \Delta x$

Entonces es el cambio en para un cambio unitario en pero también es el cambio en el crecimiento de para un cambio unitario en el crecimiento de .$\beta_1$$y$$x$$y$$x$

La razón de la diferenciación es 'técnica': si las series no son estacionarias, entonces no puedo estimar con OLS. Si las series diferenciadas son estacionarias, entonces puedo usar la estimación de de la ecuación como una estimación de en la ecuación , porque es lo mismo .$y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t$$\beta_1$$\Delta y= \beta_1 \Delta x$$\beta_1$$y_t=\beta_0 + \beta_1 x_t$ $\beta_1$

Entonces, diferenciar es un truco 'técnico' para encontrar una estimación de en cuando las series no son estacionarias. El truco hace uso del hecho de que el mismo aparece en la ecuación diferenciada.$\beta_1$$y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t$ $\beta_1$

Obviamente, esto no es diferente si hay más de una variable independiente.

Nota: todo esto es consecuencia de la linealidad del modelo, si entonces , entonces es al mismo tiempo el cambio en para una unidad cambio en pero también el cambio en el crecimiento de y para un cambio unitario en el crecimiento de , es el mismo .$y=\alpha x + \beta$$\Delta y = \alpha \Delta x$$\alpha$$y$$x$$x$$\alpha$

Tome la última función de transferencia y vuelva a expresarla como una ecuación pura del lado derecho. De esta forma será una PDL o ADL. La interpretación luego seguirá como de costumbre. Implementé esa opción en AUTOBOX y la llamé el lado DERECHO. Si publica un conjunto de datos y el modelo que desea utilizar, con gusto publicaré los resultados.

EDITADO: PARA PRESENTAR UN EJEMPLO ILUSTRATIVO PARA PROBAR LA HIPÓTESIS DE COEFICIENTES IGUALES:

Tomé el conjunto de datos GASX (X primero y luego Y) del texto de Box-Jenklins disponible aquí http://www.autobox.com/stack/GASX.ASC y estimé una función de transferencia en la serie indiferenciada y obtuve

Luego introduje la diferenciación simple en Y y X y obtuve . Se rechaza la hipótesis de que los coeficientes son los mismos. Los coeficientes son similares pero definitivamente no son los mismos. Luego intenté introducir un coeficiente MA (cerca de 1.) para completar el ejercicio algebraico de multiplicar por [1-B] pero eso tampoco reprodujo los resultados no diferenciados.

En resumen: la respuesta es que son diferentes, pero eso puede deberse al término constante omitido en el caso no diferenciado.

Decidí simular dos series de ruido blanco (X1 e Y1) y estimar un modelo OLS para ellas sin un término constante y lo obtuve. Luego integré las series X1 y Y1 white nosie y obtuve dos nuevas series (X2 e Y2). El siguiente es el resultado de un modelo OLS para X2 Y Y2 [ ] [4 El coeficiente de regresión resultante es casi idéntico (pequeña variación debido a 1 observación menos en el estudio X2, Y2. Por lo tanto, puedo concluir que el caso está probado (o no) rechazado) que los coeficientes de regresión son comparables. Tenga en cuenta que cuando introduje una constante en (X1 versus Y1) el coeficiente de regresión no era el mismo. Aparentemente, existe el requisito de que no se incorpore ninguna constante en el caso base (indiferenciado). los hallazgos concuerdan con @f coppens.