Valor esperado de x en una distribución normal, dado que está por debajo de un cierto valor

Solo me pregunto si es posible encontrar el valor esperado de x si se distribuye normalmente, dado que está por debajo de un cierto valor (por ejemplo, por debajo del valor medio).

Una variable normalmente distribuida con media y varianza tiene la misma distribución que donde es una variable normal estándar. Todo lo que necesitas saber sobre es queμ σ 2 σ Z + μ Z $X$$\mu$$\sigma^2$$\sigma Z + \mu$$Z$$Z$

• su función de distribución acumulativa se llama ,$\Phi$
• tiene una función de densidad de probabilidad , y que$\phi(z) = \Phi^\prime(z)$
• $\phi^\prime(z) = -z \phi(z)$ .

Las dos primeras viñetas son solo notación y definiciones: la tercera es la única propiedad especial de las distribuciones normales que necesitaremos.

Deje que el "cierto valor" sea . Anticipando el cambio de a , definaX $T$$X$$Z$

$$t = (T-\mu)/\sigma,$$

así que eso

$$\Pr(X \le T) = \Pr(Z \le t) = \Phi(t).$$

Luego, comenzando con la definición de la expectativa condicional, podemos explotar su linealidad para obtener

$$\eqalign{ \mathbb{E}(X\,|\, X \le T) &= \mathbb{E}(\sigma Z + \mu \,|\, Z \le t) = \sigma \mathbb{E}(Z \,|\, Z \le t) + \mu \mathbb{E}(1 \,|\, Z \le t) \\ &= \left(\sigma \int_{-\infty}^t z \phi(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \phi(z) dz \right) / \Pr(Z \le t)\\ &=\left(-\sigma \int_{-\infty}^t \phi^\prime(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \Phi^\prime(z) dz\right) / \Phi(t). }$$

El teorema fundamental del cálculo afirma que cualquier integral de una derivada se encuentra evaluando la función en los puntos finales: . Esto se aplica a ambas integrales. Como tanto como deben desaparecer en , obtenemos$\int_a^b F^\prime(z) dz = F(b) - F(a)$$\Phi$$\phi$$-\infty$

$$\mathbb{E}(X\,|\, X \le T) = \mu - \sigma \frac{\phi\left(t\right)}{\Phi\left(t\right)}.$$

Es la media original menos un término de corrección proporcional a la Relación de molinos inversos .

Como era de esperar, la relación inversa de Mills para debe ser positiva y exceder (cuyo gráfico se muestra con una línea roja punteada). Tiene que disminuir a medida que crece, ya que el truncamiento en (o ) no cambia casi nada. A medida que vuelve muy negativo, la relación inversa de Mills debe aproximarse a porque las colas de la distribución normal disminuyen tan rápidamente que casi toda la probabilidad en la cola izquierda se concentra cerca de su lado derecho (en ).$t$$-t$$0$$t$$Z=t$$X=T$$t$$-t$$t$

Finalmente, cuando está en la media, donde la relación inversa de Mills es igual a . Esto implica que el valor esperado de , truncado en su media (que es el negativo de una distribución medio normal ), es veces su desviación estándar por debajo de la media original.$T = \mu$$t=0$$\sqrt{2/\pi} \approx 0.797885$$X$$-\sqrt{2/\pi}$

En general, dejemos que tenga la función de distribución .$X$$F(X)$

Tenemos, para , Puede obtener casos especiales tomando, por ejemplo, , que produce .$x\in[c_1,c_2]$

$$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|c_1\leq X \leq c_2)&=&\frac{P(X\leq x\cap c_1\leq X \leq c_2)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}=\frac{P(c_1\leq X \leq x)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}\\&=&\frac{F(x)-F(c_1)}{F(c_2)-F(c_1)} \end{eqnarray*}$$ $c_1=-\infty$$F(c_1)=0$

Usando cdfs condicionales, puede obtener densidades condicionales (p. Ej., para ), que pueden usarse para expectativas condicionales.$f(x|X<0)=2\phi(x)$$X\sim N(0,1)$

En su ejemplo, la integración por partes da como en la respuesta de @ whuber.

$$E(X|X<0)=2\int_{-\infty}^0x\phi(x)=-2\phi(0),$$