Referencias: Cola del cdf inverso

Estoy casi seguro de que ya he visto el siguiente resultado en las estadísticas, pero no puedo recordar dónde.

Si es una variable aleatoria positiva y entonces cuando , donde es el cdf de . $X$ $\mathbb{E}(X)<\infty$ $\varepsilon F^{-1}(1-\varepsilon) \to 0$ $\varepsilon\to 0^+$ $F$ $X$

Esto es fácil de ver geométricamente usando la igualdad y considerando un corte horizontal en del área bajo la curva del integrando . $\mathbb{E}(X)=\int 1-F$ $\varepsilon$ $1-F$

¿Conoces una referencia para este resultado y si tiene un nombre?

references quantiles cdf moments Stéphane Laurent
fuente

El "más generalmente" es una aplicación directa de integración por partes. ¡Eso apenas necesita una referencia!

whuber

@whuber También estoy pidiendo una referencia sobre el primer resultado.

Stéphane Laurent

Es posible que lo haya visto, o al menos algo muy parecido, en stats.stackexchange.com/questions/18438 . Ese resultado se debe a una sustitución en la integral, que de nuevo es tan básica que uno no esperaría que se haya notado especialmente en la literatura o se le haya dado un nombre especial.

whuber

@whuber No veo en su enlace. Además, el resultado que menciono también es cierto para una discreta (tomando como una secuencia y reemplazando con en la declaración más general). El primer resultado es incluso cierto para una general , creo.

ϵ F^{- 1} (1 - ϵ) \to 0

$\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) \to 0$

F

$F$

g

$g$

\int

$\int$

\sum

$\sum$

F

$F$

Stéphane Laurent

Creo que esto podría usarse sin ninguna referencia, siempre que se establezca en términos más clásicos. En términos generales, esto es: para con , una consecuencia directa de: y de convergencia dominada. Se necesita un poco de trabajo para obtener el enunciado para la inversa (izquierda continua) en el caso general donde puede tener pasos.

x \bar{F} (x) \to 0

$x\,\bar{F}(x) \to 0$

x \to \infty

$x \to \infty$

\bar{F} := 1 - F

$\bar{F} := 1 - F$

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \,\text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X \,1_{\{X > x\}}]$

F^{- 1}

$F^{-1}$

F

$F$

Yves

Para manejar el "pequeño trabajo" sugerido por Yves en los comentarios, la geometría sugiere una prueba rigurosa y totalmente general.

Si lo desea, puede reemplazar todas las referencias a áreas por integrales y referencias a "arbitrarias" por los argumentos habituales de epsilon-delta. La traducción es fácil.

Para configurar la imagen, deje que sea la función de supervivencia $G$

G (x) = 1 - F (x) = Pr (X > x) .

$G(x) = 1-F(x) = \Pr(X \gt x).$

La figura representa gráficamente una parte de . (Observe el salto en el gráfico: esta distribución particular no es continua.) Se muestra un umbral grande y se ha seleccionado una pequeña probabilidad (de modo que ). $G$ $T$ $\epsilon \le G(T)$ $G^{-1}(\epsilon)\ge T$

Estamos listos para comenzar: el valor que nos interesa, (el que queremos mostrar converge a cero), es el área del rectángulo blanco con altura y base de a . Relacionemos esta área con la expectativa de , porque la única suposición disponible para nosotros es que esta expectativa existe y es finita. $\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) = \epsilon G^{-1}(\epsilon)$ $\epsilon$ $x=0$ $x= G^{-1}(\epsilon)$ $F$

La parte positiva de la expectativa es el área bajo la curva de supervivencia (de a ): $E_{+}$ $\mathbb{E}_F(X)$ $0$ $\infty$

E_{F} (X) = E_{+} - E_{-} = \int_{0}^{\infty} G (x) d x - \int_{- \infty}^{0} F (x) d x .

$\mathbb{E}_F(X) = E_{+}-E_{-} = \int_0^\infty G(x) dx - \int_{-\infty}^0 F(x) dx.$

Debido a que debe ser finito (de lo contrario, la expectativa en sí misma no existiría y sería finita), podemos elegir tan grande que el área bajo entre y represente todo, o casi todo, de . $E_{+}$ $T$ $G$ $0$ $T$ $E_{+}$

Todas las piezas están ahora en su lugar: la gráfica de , el umbral , la pequeña altura y el punto final derecho sugieren una disección de en áreas que puede analizar: $G$ $T$ $\epsilon$ $G^{-1}(\epsilon)$ $E_{+}$

Cuando llega a cero desde arriba, el área del rectángulo blanco con base reduce a cero, porque permanece constante. ( Esta es la razón por la cual se introdujo ; es la idea clave de esta demostración ) . $\epsilon$ $0\le x \lt T$ $T$ $T$
El área azul se puede hacer tan cerca de como desee, comenzando con una adecuadamente grande y luego eligiendo pequeño . $E_{+}$ $T$ $\epsilon$
En consecuencia, el área restante, que claramente no es mayor que el rectángulo blanco con una base de a puede hacerse arbitrariamente pequeña. (En otras palabras, simplemente ignore las áreas rojas y doradas). $x=T$ $x=G^{-1}(\epsilon)$

De este modo, hemos dividido en dos partes cuyas áreas convergen a cero. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)$ Por lo tanto, , QED. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)\to 0$

whuber
fuente

Referencias: Cola del cdf inverso

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