Distribución del máximo de dos variables normales correlacionadas

Digamos que tengo dos variables aleatorias normales estándar y que son conjuntamente normales con el coeficiente de correlación .X 2$X_1$$X_2$$r$

¿Cuál es la función de distribución de ?$\max(X_1, X_2)$

Según Nadarajah y Kotz, 2008 , Distribución exacta del máximo / mínimo de dos variables aleatorias gaussianas , el PDF de parece ser$X = \max(X_1, X_2)$

$$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$$

donde es el PDF y es el CDF de la distribución normal estándar.$\phi$$\Phi$

$\hskip2in$

Sea el PDF normal bivariado para con marginales estándar y correlación . El CDF del máximo es, por definición, ( X , Y ) $f_\rho$$(X,Y)$$\rho$

$$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$$

El PDF normal bivariado es simétrico (por reflexión) alrededor de la diagonal. Por lo tanto, aumentar a agrega dos franjas de probabilidad equivalente al cuadrado semi-infinito original: el superior infinitamente grueso es mientras que su contraparte reflejada, el franja derecha, es .z + d z ( - ∞ , z ] × ( z , z + d z ] ( z , z + d z ] × ( - ∞ , z $z$$z+dz$$(-\infty, z]\times (z, z+dz]$$(z, z+dz]\times (-\infty, z]$

La densidad de probabilidad de la franja derecha es la densidad de en veces la probabilidad condicional total de que esté en la franja, . La distribución condicional de siempre es Normal, por lo que para encontrar esta probabilidad condicional total solo necesitamos la media y la varianza. La media condicional de en es la predicción de regresión y la varianza condicional es la varianza "inexplicada" .z Y Pr ( Y ≤ $X$$z$$Y$Y Y X ρ X var ( Y ) - var ( ρ X ) = 1 - ρ $\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$$Y$$Y$$X$$\rho X$$\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$

Ahora que conocemos la media y la varianza condicionales, se puede obtener el CDF condicional de dado estandarizando y aplicando el estándar Normal CDF :$Y$$X$$Y$$\Phi$

$$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$$

La evaluación de esto en y y la multiplicación por la densidad de en (un estándar normal pdf ) da la densidad de probabilidad de la segunda franja (derecha)$y=z$$X=z$$X$$z$$\phi$

$$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$$

Duplicar esto explica la franja superior equi-probable, dando el PDF del máximo como

$$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$$

Recapitulación

He coloreado los factores para indicar sus orígenes: para las dos tiras simétricas; para los anchos de tira infinitesimales; y para las longitudes de la tira. El argumento de este último, , es solo una versión estandarizada de condicional en .$\color{blue}2$$\color{black}{\phi(z)}$$\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$$\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$$Y=z$$X=z$