Estimación de ML de distribución exponencial (con datos censurados)

En el Análisis de supervivencia, se supone que el tiempo de supervivencia de un rv $X_i$ se distribuye exponencialmente. Considerando ahora que tengo "resultados" de iid rv's . De hecho, solo una parte de estos resultados está "plenamente realizada", es decir, las observaciones restantes aún están "vivas".$x_1,\dots,x_n$$X_i$

Si quisiera realizar una estimación ML para el parámetro de tasa de la distribución, ¿cómo puedo utilizar las observaciones no realizadas de manera coherente / apropiada? Creo que todavía contienen información útil para la estimación.$\lambda$

¿Podría alguien guiarme a la literatura sobre este tema? Estoy seguro de que existe. Sin embargo, tengo problemas para encontrar buenas palabras clave / términos de búsqueda para el tema.

Todavía puede estimar los parámetros utilizando la probabilidad directamente. Deje que las observaciones sean con la distribución exponencial con tasa λ > 0 y desconocida. La función de densidad es f ( x ; λ ) = λ e - λ x , función de distribución acumulativa F ( x ; λ ) = 1 - e - λ x y función de cola G ( x ; $x_1, \dots, x_n$$\lambda>0$$f(x;\lambda)= \lambda e^{-\lambda x}$$F(x;\lambda)=1-e^{-\lambda x}$ . Suponga que las primeras r observaciones se observan completamente, mientras que para x r + 1 , ... , x n solo sabemos que x j > t j para algunas constantes positivas conocidas t j . Como siempre, la probabilidad es la "probabilidad de los datos observados", para las observaciones censuradas, que viene dada por P ( X j > t $G(x;\lambda)=1-F(x;\lambda) = e^{-\lambda x}$$r$$x_{r+1}, \dots, x_n$$x_j > t_j$$t_j$ , entonces la función de verosimilitud completa es L ( λ ) = r ∏ i = 1 f ( x i ; λ ) ⋅ n ∏ i = r + 1 G ( t j ; λ ) La función de verosimilitud se convierte en l ( λ ) = r log λ 1 + ⋯ + x r + t r + $P(X_j > t_j) = G(t_j;\lambda)$

$$L(\lambda) = \prod_{i=1}^r f(x_i;\lambda) \cdot \prod_{i=r+1}^n G(t_j;\lambda)$$ que tiene la misma forma que la verosimilitud para el caso habitual, completamente observado, excepto desde el primer término r log λ en lugar de n log λ . Escribiendo T para la media de las observaciones y los tiempos de la censura, el estimador de máxima verosimilitud de λ se convierte en λ = $$l(\lambda) = r\log\lambda -\lambda(x_1+\dots+x_r+t_{r+1}+\dots+ t_n)$$ $r\log\lambda$$n\log\lambda$$T$$\lambda$ , que usted mismo puede comparar con el caso completamente observado.$\hat{\lambda}=\frac{r}{nT}$

 EDIT   

$r=0$

$$l(\lambda) = -nT \lambda$$ $\lambda$$\lambda=0$$\lambda$$\lambda$ basado en esa función de verosimilitud? Para eso, mira a continuación.

Pero, en cualquier caso, la conclusión real de los datos en ese caso es que deberíamos esperar más tiempo hasta que tengamos algunos eventos ...

$\lambda$$e^{-\lambda n T}$$p^n$$p$$[\underset{\bar{}}{p}, 1]$$\lambda$$\log p = -\lambda T$ .

$p$

$$P(X=n) = p^n \ge 0.95 ~~~~\text{(say)}$$ $n\log p \ge \log 0.95$$\lambda$ $$\lambda \le \frac{-\log 0.95}{n T}.$$