Cómo calcular la función de probabilidad

Tiempo de vida de 3 componentes electrónicos son y . Las variables aleatorias se modelaron como una muestra aleatoria de tamaño 3 a partir de la distribución exponencial con el parámetro . La función de probabilidad es, para $X_{1} = 3, X_{2} = 1.5,$ $X_{3} = 2.1$ $\theta$ $\theta > 0$

, donde . $f_{3}(x|\theta) = \theta^{3} exp(-6.6\theta)$ $x = (2, 1.5, 2.1)$

Y luego el problema procede a determinar el MLE al encontrar el valor de que maximiza . Mi pregunta es, ¿cómo determino la función de probabilidad? Busqué el pdf de la distribución exponencial, pero es diferente. Entonces, ¿siempre se me da la función de probabilidad en un problema? ¿O tengo que determinarlo yo mismo? ¿Si es así, cómo? $\theta$ $log f_{3}(x|\theta)$

distributions maximum-likelihood exponential Adrian
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¿Por qué quieres hacer una estimación de probabilidad con solo 3 observaciones? La estimación que obtenga para

estará sesgada y tendrá una gran cantidad de variación. ¿Es HW?

θ

$\theta$

Zachary Blumenfeld

¿Sabes cuál es la definición de probabilidad?

Glen_b: reinstala a Mónica el

Respuestas:

La función de probabilidad de una muestra, es la densidad conjunta de las variables aleatorias involucradas, pero vista como una función de los parámetros desconocidos dada una muestra específica de realizaciones de estas variables aleatorias.

$\theta$

f_{X_{i}} (x_{i} ∣ θ) = θ e^{- θ x_{i}}, i = 1, 2, 3

$f_{X_i}(x_i\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_i}, \;\; i=1,2,3$

Además, parece que la vida de cada componente es totalmente independiente de la vida de los demás. En tal caso, la función de densidad conjunta es el producto de las tres densidades,

f_{X 1, X 2, X 3} (x_{1}, x_{2}, x_{3} ∣ θ) = θ e^{- θ x_{1}} \cdot θ e^{- θ x_{2}} \cdot θ e^{- θ x_{3}} = θ^{3} \cdot \exp {- θ \sum_{i = 1}^{3} x_{i}}

$f_{X1,X2,X3}(x_1,x_2,x_3\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_1} \cdot \theta e^{-\theta x_2}\cdot \theta e^{-\theta x_3} = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

$\theta$ $x_i$

L (θ ∣ {x_{1}, x_{2}, x_{3}}) = θ^{3} \cdot \exp {- θ \sum_{i = 1}^{3} x_{i}}

$L(\theta \mid \{x_1,x_2,x_3\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

$\{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}$ $\sum_{i=1}^3x_i = 6.6$

L (θ ∣ {x_{1} = 3, x_{2} = 1.5, x_{3} = 2.1}) = θ^{3} \cdot \exp {- 6.6 θ}

$L(\theta \mid \{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-6.6\theta \right\}}$

$x_i$ $\theta$ $x$ $\theta$

$n=3$ $6.6$ $\theta$ $\sum x$

Alecos Papadopoulos
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