¿Por qué la distribución de varianza muestral es una distribución chi-cuadrado?

La declaración

La distribución muestral de la varianza muestral es una distribución chi-cuadrado con un grado de libertad igual a , donde n es el tamaño de la muestra (dado que la variable aleatoria de interés se distribuye normalmente).$n-1$$n$

Fuente

Mi intuicion

Para mí tiene un sentido intuitivo 1) porque una prueba de chi-cuadrado parece una suma de cuadrados y 2) porque una distribución de Chi-cuadrado es solo una suma de distribución normal al cuadrado. Pero aún así, no lo entiendo bien.

Pregunta

¿Es cierto el enunciado? ¿Por qué?

[Asumiré de la discusión en su pregunta que está feliz de aceptar como un hecho que si son variables aleatorias independientes N ( 0 , 1 ) distribuidas idénticamente , entonces ∑ k i = 1 Z 2 i ∼ χ 2 k .]$Z_i, i=1,2,\ldots,k$$N(0,1)$$\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim \chi^2_k$

Formalmente, el resultado que necesita se deriva del teorema de Cochran . (Aunque se puede mostrar de otras maneras)

Menos formalmente, considere que si supiéramos la media de la población y estimáramos la varianza sobre ella (en lugar de sobre la media de la muestra): , entoncess 2 0 /σ2=$s_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$ , (Zi=(Xi-μ)/σ) que será$s_0^2/\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}Z_i^2$$Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$ veces aχ 2 n variable aleatoria.$\frac{1}{n}$$\chi^2_n$

El hecho de que se use la media de la muestra, en lugar de la media de la población ( ) hace que la suma de los cuadrados de las desviaciones sea menor, pero de tal manera que ∑ n i = 1 ( Z ∗ i ) $Z_i^*=(X_i-\bar{X})/\sigma$ (sobre el cual, ver el teorema de Cochran). Por lo tanto, en lugar de n s 2 0 / σ 2 ∼ χ 2 n ahora tenemos ( n - 1 ) s 2 / σ 2 ∼ χ 2 n - 1 .$\sum_{i=1}^{n}(Z_i^*)^2\,\sim\chi^2_{n-1}$$ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n$$(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$