Números esperados de colores distintos al dibujar sin reemplazo

Considere una urna que contiene bolas de diferentes colores, siendo la proporción de bolas de color entre las bolas ( ). Extraigo bolas de la urna sin reemplazo y miro el número de diferentes colores entre las bolas que se dibujaron. ¿Cuál es la expectativa de en función de , dependiendo de las propiedades adecuadas de la distribución ?P p i i N ∑ i p i = 1 n ≤ $N$$P$$p_i$$i$$N$$\sum_i p_i = 1$$n \leq N$γ n / N $\gamma$$\gamma$$n/N$$\mathbf{p}$

Para dar más información: si y para todo , siempre veré exactamente colores, es decir, . De lo contrario, se puede demostrar que la expectativa de es . Para y fijos , parecería que el factor por el cual multiplicar sería máximo cuando es uniforme; ¿tal vez el número esperado de colores diferentes visto esté limitado en función de y, por ejemplo, la entropía de ?p i = 1 / P i n γ = P ( n / N ) γ > P ( n / N ) P N n / N p n / N $N = P$$p_i = 1/P$$i$$n$$\gamma = P (n/N)$$\gamma$$>P(n/N)$$P$$N$$n/N$$\mathbf{p}$$n/N$$\mathbf{p}$

Esto parece estar relacionado con el problema del recolector de cupones, excepto que el muestreo se realiza sin reemplazo y la distribución de los cupones no es uniforme.

Suponga que tiene colores, donde k ≤ N . Let b i denota el número de bolas de color i tan Σ b i = N . Dejar que B = { b 1 , ... , b k } y dejar E i ( B ) notate el conjunto que se compone de los i subconjuntos de elementos de B . Sea Q n , c el número de formas en que podemos elegir $k$$k \leq N$$b_i$$i$$\sum b_i = N$$B = \{b_1, \ldots, b_k\}$$E_i(B)$$i$$B$$Q_{n, c}$$n$elementos del conjunto anterior de modo que el número de colores diferentes en el conjunto elegido sea . Para c = 1 la fórmula es simple:$c$$c = 1$

$$Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n}$$

Para podemos contar conjuntos de bolas de tamaño n que tiene como máximo 2 colores menos el número de conjuntos que tienen exactamente 1 color:$c = 2$$n$$1$

$$Q_{n,2} = \sum_{E \in E_{2}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \binom{k - 1}{1}Q_{n, 1}$$

es la cantidad de formas en que puede agregar un color a un color fijo, de modo que tendrá 2 colores si tienekcolores en total. La fórmula genérica es si tienec1colores fijos y desea hacerc2colores mientras tienekcolores en total (c1≤c2≤k) es ( k-c$\binom{k - 1}{1}$$k$$c_1$$c_2$$k$$c_1 \leq c_2 \leq k$. Ahora tenemos todo para derivar la fórmula genérica paraQn,c:$\binom{k - c_1}{c_2 - c_1}$$Q_{n, c}$

$$Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \sum_{i = 1}^{c - 1}\binom{k - i}{c - i}Q_{n, i}$$

La probabilidad de que tenga exactamente colores si dibuja n bolas es:$c$$n$

$$P_{n, c} = Q_{n, c} / \binom{N}{n}$$

También tenga en cuenta que $\binom{x}{y} = 0$ if $y > x$.

Probably there are special cases where the formula can be simplified. I didn't bother to find those simplifications this time.

The expected value you're looking for the number of colors dependent on $n$ is the following:

$$\gamma_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i$$