Qué distribución da como resultado la adición de dos distribuciones de Pareto

Me pregunto qué distribución da como resultado la adición de dos (o más) distribuciones de Pareto tipo uno de la forma . Experimentalmente, parece una ley de potencia de dos modos, asintótica a la diferencia de alfa.$x^{-\alpha}$

Editado para ser un poco más legible. Las distribuciones se suman por convolución. La distribución de Pareto se define por partes como para y 0 para . La convolución de dos funciones de Pareto y es:$k^a x^{-a-1}$$x\geq k$$x<k$$k^a x^{-a-1}$$j^b x^{-b-1}$

donde y 0 para , que aunque es un campo complejo dentro de ese término, tiene un valor real fuera de él. es Hypergeometric2F1 Regulado aquí en el código de Mathematica. No todas las opciones para los parámetros producirán funciones de densidad valoradas positivas. Aquí hay un ejemplo de cuándo son positivos. Para las dos distribuciones de Pareto, sea a = 2, b = 3, j = 0.1 yk = 0.3. y sus gráficos están en azul para la función {k, a} y en naranja para la función {j, b}. Su convolución es entonces gráficamente que, cuando se examinan las colas, parece que el verde es la convolución.$j+k<x$$x\leq j+k$$\, _2\tilde{F}_1(w,x;y;z)$

De su pregunta, puede estar preguntando acerca de la adición ordinaria de dos distribuciones de Pareto. En ese caso, el área debajo de la curva es dos, por lo que la suma no es una función de densidad, que necesita tener un área debajo de la curva de uno. Sin embargo, si esa es la pregunta, entonces para simplifica a , que tiene un límite de solo si , y es 0 o infinito en todos los demás casos. En otras palabras, la suma aritmética de dos distribuciones de Pareto solo tiene colas que son la diferencia entre y cuando$\frac{a k^a t^{-a-1}+b j^b t^{-b-1}}{t^{a-b-1}}$$b>a>0$$t^{-2 a} \left(b t^a j^b+a k^a t^b\right)$$a k^a$$b=2a$$a$$b$$b=2a$, y la suma aritmética no es una función de densidad, y la suma tendría que escalarse para dos probabilidades, para ser una función de densidad. Aunque se produce la adición aritmética de funciones de densidad para definir otra función de densidad, es inusual. Un ejemplo de esto ocurre en farmacocinética, donde la suma de dos o más distribuciones exponenciales se usa para definir una función de densidad. Para resumir, eso no es algo que recomendaría.$1=p+q$

Esperemos que esto responda tu pregunta. Si no es así, objete mi respuesta o agregue más información.