Derivando la densidad posterior para una probabilidad lognormal y el previo de Jeffreys

La función de probabilidad de una distribución lognormal es:

$f(x; \mu, \sigma) \propto \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right )$

y el Prior de Jeffreys es:

$p(\mu,\sigma) \propto \frac{1}{\sigma^2}$

combinando los dos da:

$f(\mu,\sigma^2|x)= \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right ) \cdot \sigma^{-2}$

Sé que la densidad posterior de $\sigma^2$ es inversamente distribuida Gamma, así que tengo que calcular

$f(\sigma^2|x) = \int f(\mu,\sigma^2|x) d\mu$

pero no tengo idea de por dónde empezar aquí.

Después del comentario de Glen_b, le doy una oportunidad:

$f(\mu,\sigma^2|x)= \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right ) \cdot \sigma^{-2}$

$= \sigma^{-n-2} \prod_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \exp \left ( - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (\ln x_i - \mu ) \right)$

pero no puedo ver que esto vaya a ninguna parte.

Otra idea que obtuve es definir , entonces está distribuido normalmente. Entonces$y_i=\ln(x_i)$$y$

$f(\mu,\sigma^2 |y) = \left [ \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \frac{1}{\sigma} \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} (y_i - \mu)^2 \right ) \right ] \cdot \frac{1}{\sigma^2}$

$\propto \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar y)^2 + n(\bar y - \mu)^2 \right )$ $= \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 + n(\bar y - \mu)^2 ) \right )$ $= \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right ) \exp \left (n(\bar y - \mu)^2 ) \right )$

luego integre:

$\sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right ) \int \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} n(\bar y - \mu)^2 ) \right ) d \mu$

por el método que sugirió, obtengo

$\int \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} n(\bar y - \mu)^2 ) \right ) d \mu = \sqrt{\frac{2\pi \sigma^2}{n}}$

Entonces:

$\propto (\sigma^2)^{-(n+1)/2} \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right )$

que es de hecho inversa Gamma distribuida.

Pero no estoy seguro de si esto es correcto, también es el mismo resultado que obtengo para una probabilidad normal.

Encontré esto en la literatura (sin más explicaciones):

Tenga en cuenta que, considerado como una función en , lo que tiene es proporcional a una densidad normal.$\mu$

Entonces, el paso 1 es completar el cuadrado en que está en el exponente, extraer el frente de la integral de las constantes superfluas y luego multiplicar el término en la integral por la constante requerida para que se integre a 1. Luego divida en frente a la integral por la misma constante (para que no cambie el valor de la expresión general).$\mu$

Como tiene una densidad en la integral, reemplace el término en la integral por 1.

Te queda una función de (una que supuestamente ha reemplazado a con algo similar a una estimación).$\sigma$$\mu$

Ahora vea la densidad de una gamma inversa aquí :

(en este caso, usando una parametrización de escala de forma).

Suponiendo que tiene la correcta anterior (no lo he comprobado) -

busca una densidad posterior para . Tenga en cuenta que su función después de la integración puede escribirse en la forma .$\sigma^2$$c\cdot(\sigma^2)^{-\text{something}}\cdot\exp(-\text{something-else}/\sigma^2)$

Entonces tiene una expresión proporcional a una densidad gamma inversa en . (Dado que debe ser una densidad, suministre la constante requerida necesaria para que se integre a 1.)$\sigma^2$