Prueba de desigualdad de Cantelli

Estoy tratando de demostrar la siguiente desigualdad:

EDITAR: Casi inmediatamente después de publicar esta pregunta, descubrí que la desigualdad que se me pide que pruebe se llama desigualdad de Cantelli. Cuando escribí esto, no me di cuenta de que esta desigualdad en particular tenía un nombre. He encontrado múltiples pruebas a través de Google, por lo que estrictamente ya no necesito una solución. Sin embargo, mantengo esta pregunta porque ninguna de las pruebas que he encontrado implican invocar el hecho de que$t=E(t-X)\leq E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]$, como se pretendía originalmente.

por $t \geq 0$,

$\mathbb{P}(X-E(X)\geq t)\leq \frac{V(X)}{V(X)+t^2}$

Nuestro profesor nos dio los siguientes "consejos" para resolver esto: "Primero resuelva el problema asumiendo $E(X)=0$ entonces usa el hecho de que $t=E(t-X)\leq E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]$".

EDITAR: Para ser claro, en mi notación, $\mathbb{I}$ se refiere a la función del indicador.

La primera parte es bastante simple. Básicamente es una variación de la prueba de la desigualdad de Markov o Chebychev. Lo hice de la siguiente manera:

$V(X)=\int_{-\infty}^{\infty}(x-E(X))^2f(x)dx$

(Sé que, propiamente hablando, deberíamos reemplazar $x$ con, digamos, $u$ y $f(x)$ con $f_x(u)$al evaluar una integral. Sin embargo, para ser honesto, encuentro que la notación / convención es innecesariamente confusa y no es terriblemente transparente, así que me quedo con mi notación más informal).

Si asumimos $E(X)=0$, entonces lo anterior se simplifica a

$V(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx$

Por razones de brevedad, omitiré algunos pasos, pero es fácil mostrar que

$V(X)\geq t^2 P(X>t)$, o mejor $P(X>t)\leq \frac{V(X)}{t^2}$. Ya que$E(X)=0$, podemos reemplazar el $X$ en el lado izquierdo de este último con $X-E(X)$.

Aquí es donde tengo problemas para avanzar. No entiendo cómo usar el hecho de que$t=E(t-X)\leq E[(t-x)\mathbb{I}_{X<t}]$. De nuevo, desde$E(X)=0$, podemos sustituir en $t-E(X)$ para $t$. Esto es equivalente a$E(t-X)$. Entonces, podemos reescribir el$t^2$ en el denominador en el lado derecho de la desigualdad como $[E(t-X)]^2$, que desde que se retira el término medio se simplifica a $t^2-[E(X)]^2$. Pero tampoco veo a dónde puedo ir desde aquí. Aunque puedes reescribir esto como$t^2+V(X)-E(X^2)$, que al menos me da el $V(X)+t^2$ término en el lugar correcto.

Claramente me estoy perdiendo algo, aquí, relacionado con $E(t-X) \leq E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]$, pero francamente no tengo idea de qué hacer con este término. Entiendo conceptualmente lo que me dice este término. Intuitivamente, el valor esperado de$t-X$ va a ser menor que la misma cantidad si $X$ se limita a ser estrictamente menor que $t$; es decir, es probable que el primer término sea negativo, mientras que el segundo debe ser positivo. Pero no veo cómo puedo usar este hecho en la prueba.

Traté de "distribuir" en el interior para simplificar ...

$E[(t-X)\mathbb{I}_{X<t}]=E[t\mathbb{I}_{X<t} - X\mathbb{I}_{X<t}]=tP(X<t)-?$

Pero no estoy seguro de cómo evaluar $E(X\mathbb{I}_{X<t}]$.

Alguien tiene una idea o una pista?

Definiendo $Y=X-\mathbb{E}[X]$, resulta que $\mathbb{E}[Y]=0$ y $\mathbb{Var}[Y]=\mathbb{Var}[X]=:\sigma^2=\mathbb{E}[Y^2]$.

por $t,u>0$, usando la desigualdad de Markov, tenemos