debajo de un gaussiano

Esta pregunta surge de la siguiente pregunta. /math/360275/e1-1x2-under-a-normal-distribution

Básicamente, ¿cuál es la bajo una Gaussian . Intenté reescribir \ frac {1} {1 + x ^ 2} como una mezcla escalar de gaussianos ( \ propto \ int \ mathcal {N} (x | 0, \ tau ^ {- 1}) Ga (\ tau | 1 / 2,1 / 2) d \ tau ). Esto también se detuvo, a menos que ustedes tengan un truco bajo su cinturón.$E\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$$\frac{1}{1+x^2}$$\propto \int\mathcal{N}(x|0,\tau^{-1})Ga(\tau|1/2,1/2)d\tau$

Si esta integral no es analítica, ¿tiene límites razonables?

Deje sea ​​el Normal PDF y sea ​​el PDF de una distribución de Student t con un df Porque El PDF de una variable normal es (por simetría), la expectativa es igual$f_\sigma(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)$$(0,\sigma)$$g(x) = \frac{1}{\pi}\left(1+x^2\right)^{-1}$$(\mu,\sigma)$$X$$f_\sigma(x-\mu) = f_\sigma(\mu-x)$

$$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\pi g(X)\right) = \int_\mathbb{R} f_\sigma\left((\mu-x)^2\right) \pi g(x)dx.$$

Esta es la fórmula que define la convolución . El resultado más básico del análisis de Fourier es que la transformación de Fourier de una convolución es el producto de las transformadas de Fourier . Además, las funciones características (cf) son (hasta múltiplos adecuados) transformadas de Fourier de archivos PDF. El cf de una distribución Normal es$(f\star \pi g)(\mu)$$(0,\sigma)$

$$\widehat{f}_\sigma(t) = \exp(-t^2\sigma^2/2)$$

y el cf de esta distribución t de Student es

$$\widehat{g}(t) = \exp(-|t|).$$

(Ambos pueden obtenerse por métodos elementales). El valor de la transformada inversa de Fourier de su producto en es, por definición,$\mu$

$$\frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{R} \widehat{f}_\sigma(t)\pi\widehat{g}(t) \exp(-i t \mu) dt =\frac{1}{2}\int_\mathbb{R} \exp(-t^2\sigma^2/2-|t|-i t \mu) dt.$$

Su cálculo es elemental: realizarlo por separado en los intervalos y para simplificara y , respectivamente, y completa el cuadrado cada vez. Se obtienen integrales similares a los CDF normales, pero con argumentos complejos. Una forma de escribir la solución es$(-\infty,0]$$[0,\infty)$$|t|$$-t$$t$

$$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}} e^{-\frac{(\mu +i)^2}{2 \sigma ^2}} \left(e^{\frac{2 i \mu }{\sigma ^2}} \text{erfc}\left(\frac{1+i \mu }{\sqrt{2} \sigma }\right)-\text{erf}\left(\frac{-1+i\mu}{\sqrt{2} \sigma }\right)+1\right)}{2 \sigma }.$$

Aquí, es la función de error complementaria donde$\text{erfc}(z) = 1 - \text{erf}(z)$

$$\text{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z \exp(-t^2)dt.$$

Un caso especial es para el cual esta expresión se reduce a$\mu=0, \sigma=1$

$$\mathbb{E}_{1, 0}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \sqrt{\frac{e\pi}{2}}\text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0.65567954241879847154\ldots.$$

Aquí está el diagrama de contorno de (en un eje logarítmico para ).$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}$$\sigma$

Esta es una idea de cómo resolverlo que utiliza la identidad que fue propuesta por Did aquí . Podrías usar

$$\frac{1}{S}=\int_0^\infty \exp(-tS)dt$$

$$\begin{align}E\left(\frac{1}{x^2+1}\right) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty \int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-t(x^2+1)\right)\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\mathrm dx \mathrm dt\\ &=\int_0^\infty \exp\left(-t\right)\left(1+2t\right)^{-\frac{1}{2}} \mathrm dt\\ &=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\left[\mbox{erf}\left(\sqrt{t+\frac{1}{2}}\right)\right]_0^\infty\\ &=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\left(1-\mbox{erf}\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)\end{align}$$