Transformación de Anscombe y aproximación normal

La transformación Anscombe es .$a(x) = 2\sqrt{x+3/8}$

¿Alguien puede mostrarme cómo demostrar que una versión transformada por Anscombe de una variable aleatoria distribuida por Poisson es aproximadamente normal (cuando )?$Y = a(X)$$X$$\lambda>4$

Aquí hay un bosquejo de una prueba que combina tres ideas: (a) el método delta, (b) transformaciones de estabilización de varianza y (c) el cierre de la distribución de Poisson bajo sumas independientes.

Primero, consideremos una secuencia de variables aleatorias de iid Poisson$X_1, X_2, \ldots$ con media $\lambda > 0$. Luego, el Teorema del límite central afirma que

$$\newcommand{\barX}{\bar{X}_n}\newcommand{\convd}{\,\xrightarrow{\,d\,}\,}\newcommand{\Nml}{\mathcal{N}} \sqrt{n} (\barX - \lambda) \convd \Nml(0,\lambda) \> .$$

Observe que la varianza asintótica depende del parámetro (presumiblemente desconocido) . Sería bueno si pudiéramos encontrar alguna función de los datos que no sea tal manera que, después de centrar y reescalar, tuviera la misma varianza asintótica sin importar cuál fuera el parámetro .$\lambda$$\bar{X}_n$$\lambda$

El método delta proporciona una forma práctica de determinar la distribución de funciones suaves de alguna estadística cuya distribución limitante ya se conoce. Sea una función con una primera derivada continua tal que . Luego, por el método delta (especializado en nuestro caso particular de interés), $g$$g'(\lambda) \neq 0$

$$\sqrt{n}\big(g(\barX) - g(\lambda)\big) \convd \Nml(0, \lambda g'(\lambda)^2) \>.$$

Entonces, ¿cómo podemos hacer que la varianza asintótica sea constante (digamos, el valor ) para todos los posibles ? Por la expresión anterior, sabemos que necesitamos resolver$1$$\lambda$

$$g'(\lambda) = \lambda^{-1/2} \>.$$

No es difícil ver que la antiderivada general es para cualquier , y la distribución limitante es invariable a la elección de (por sustracción), por lo que podemos establecer sin pérdida de generalidad. Dicha función se denomina transformación estabilizadora de la varianza .$g(\lambda) = 2 \sqrt{\lambda} + c$$c$$c$$c = 0$$g$

Por lo tanto, mediante el método delta y nuestra elección de , concluimos que $g$

$$\sqrt{n}\Big(2\sqrt{\barX} - 2\sqrt{\lambda}\Big) \convd \Nml(0, 1) \>.$$

Ahora, la distribución de Poisson está cerrada por sumas independientes. Entonces, si es Poisson con media , entonces existen variables aleatorias que son iid Poisson con media tal que tiene la misma distribución que . Esto motiva la aproximación en el caso de una sola variable aleatoria de Poisson.$X$$\lambda$$Z_1, \ldots, Z_n$$\lambda/n$$\sum_{i=1}^n Z_i$$X$

Lo que Anscombe (1948) encontró fue que modificar la transformación (ligeramente) a para alguna constante realidad funcionó mejor para más pequeño . En este caso, es aproximadamente óptimo.$g$$\tilde{g}(\lambda) = 2\sqrt{\lambda + b}$$b$$\lambda$$b = 3/8$

Tenga en cuenta que esta modificación "destruye" la verdadera propiedad estabilizadora de la varianza de , es decir, no es estabilizadora de la varianza en sentido estricto. Pero está cerca y da mejores resultados para más pequeño .$g$$\tilde{g}$$\lambda$