Teoría del valor extremo: parámetros de GEV logarítmicos normales

La distribución logarítmica pertenece al dominio de atracción máximo de Gumbel , donde:

$F^{logN}(x; \mu,\sigma)=\Phi\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right)$ ,

$F^{Gum}(x;\mu,\beta) = e^{-\exp\left({-\frac{x-\mu}{\beta}}\right)}$

Mi pregunta : ¿tenemos y ?$\mu=\mu$$\sigma=\beta$

La distribución Generalized Extreme Value también usa la notación (Gumbel es el caso límite ), y comparar los CDF para Standard-Lognormal y Standard-Gumbel implicaría nuevamente que los parámetros coinciden. Pero no estoy seguro al respecto, porque Gumbel es un caso limitante de Lognormal Maxima, por lo que también podría haber alguna transformación de los parámetros.$\beta=\sigma$$\xi =0$

Deje con el significado de que rv es normal con media y desviación estándar . Considerando , sabemos que existen dos secuencias y modo que$X_i \sim_{\text{i.i.d}} \text{LNorm}(\mu,\,\sigma)$$\log X_i$$\mu$$\sigma$$M_n := \max_{1 \leqslant i \leqslant n} X_i$$a_n >0$$b_n$

$$\tag{1} \frac{M_n - b_n}{a_n} \to \text{Gum}(0, 1)$$

donde denota la distribución de Gumbel con ubicación y scale . Esto significa que para todas las .$\text{Gum}(\nu,\,\beta)$$\nu$$\beta$$F_{M_n}(a_n x + b_n) \to F_{\text{Gum}}(x;\,0,\,1)$$x$

Obviamente, las dos secuencias y dependen de y , por lo que podrían denotarse como y . Por ejemplo, si se reemplaza por , la distribución de se reemplaza por la de y la distribución de se reemplaza por la de , lo que implica que y deben reemplazarse por y para mantener el mismo límite. Del mismo modo, si reemplazamos$a_n$$b_n$$\mu$$\sigma$$a_n(\mu,\,\sigma)$$b_n(\mu,\,\sigma)$$\mu$$\mu +1$$X_i$$e X_i$$M_n$$e M_n$$a_n$$b_n$$ea_n$$eb_n$$\mu$por con sin cambios, debe reemplazarse por y luego y deben reemplazarse por y .$0$$\sigma$$X_i$$e^{-\mu} X_i$$a_n$$b_n$$e^{-\mu} a_n$$e^{-\mu}b_n$

La pregunta puede formularse como: si usamos las secuencias y en el lado izquierdo de (1), en lugar de la debida y : ¿obtenemos en el lado derecho? La respuesta es entonces no, porque los parámetros de Gumbel son de hecho parámetros de ubicación y escala, mientras que esto no es cierto para el log-normal. El parámetro del log-normal impacta la cola, como puede verse por el hecho de que el coeficiente de variación aumenta con . Mientras que siempre permanece en el dominio de atracción de Gumbel, las secuencias$a_n(0, 1)$$b_n(0, \,1)$$a_n(\mu,\,\sigma)$$b_n(\mu,\,\sigma)$$\text{Gum}(\mu,\,\sigma)$$\sigma$$\sigma$$\text{LNorm}(\mu,\,\sigma)$$a_n$y debe tender a más rápidamente a medida que aumenta. Se puede demostrar que podemos (1) usar secuencias y modo que ver Embrechts P., Klüppelberg C. y Mikosch T. tabla 3.4.4 pp 155 -157. Si usamos las secuencias y con una incorrecta , no obtendremos un límite no degenerado para el lado izquierdo de (1), porque las tasas de crecimiento de y son adecuadas para la cola de$b_n$$\infty$$\sigma$$a_n$$b_n$

$$b_n(\mu, \sigma) = e^\mu \, b_n(0, 1)^\sigma, \qquad a_n(\mu, \sigma) = \sigma \,(2 \log n)^{-1/2} b_n(\mu,\,\sigma),$$ $a_n$$b_n$$\sigma$$a_n$$b_n$$X_i$ .