Distribución del cociente de Rayleigh

Para un proyecto de investigación, necesito encontrar el valor esperado del cociente generalizado de Rayleigh:

E [w^{T} A w / w^{T} B w] .

$E\,[w^T A w \ / \ w^T B w].$ Aquí A y B son matrices de covarianza determinísticas definidas positivas p x p , yw sigue una distribución multivariada con líneas de altitud circulares (digamos, normal multivariante normal). La dimensión p es mayor que 100.

Este problema es fácil de resolver usando simulación; Sin embargo, me preguntaba si alguien podría saber cómo este problema podría resolverse (o aproximarse) analíticamente. Mi primera idea fue que, posiblemente, según el teorema del límite central de Lindeberg o Lyapunov, tanto el numerador como el denominador están distribuidos aproximadamente de manera normal, lo que nos da una relación de dos variables aleatorias normales (correlacionadas), pero la simulación muestra que ese no es el caso.

distributions expected-value Estadísticas
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¿Sabes algo más sobre la relación entre

A

$A$ y

B

$B$ o propiedades más allá de la simple definición positiva? Bajo una cierta interpretación de "distribución circular" (es decir, invariante bajo transformaciones ortogonales), podemos suponer que

A

$A$ o

B

$B$ es diagonal No es necesario suponer una definición positiva de ninguno de los dos.

cardenal

A y B son matrices de correlación. Son bastante similares, pero no idénticos.

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Posiblemente mi elección de "distribución circular" no fue la ideal. Lo que quiero decir es una distribución elíptica donde las variables aleatorias w_i son independientes, por ejemplo, la distribución normal estándar.

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Respuestas:

En el caso de la distribución normal, se puede encontrar una solución en Mathai y Provost, formas cuadráticas en variables aleatorias (1992). Los momentos inversos y de producto de tales formas cuadráticas se derivan allí de la función generadora de momentos.

Las formas cuadráticas en distribuciones elípticas y sus momentos se tratan en Mathai, Provost y Hayakawa, formas bilineales y polinomios zonales (1995), pero no en la misma extensión que en el caso normal. Como las distribuciones elípticas generalmente se definen en términos de su función característica $e^{it\mu}\xi(t'\Sigma t)$ , esta función $\xi$ aparecerá en la solución si uno elige el enfoque mgf. Sin embargo, nunca se ha calculado, afaik.

Horst Grünbusch
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