¿Cómo encontrar una densidad a partir de una función característica?

Una distribución tiene la función característica.

$$\phi(t) = (1-t^2/2)\exp(-t^2/4),\ -\infty \lt t \lt \infty$$

Muestre que la distribución es absolutamente continua y escriba la función de densidad de la distribución.

Intento:

$$\int_{-\infty}^{\infty}|(1-t^2/2)\exp(-t^2/4)|dt =(-2/t)(1-t^2/2)\exp(-t^2/4)-2\exp(-t^2/4)|_{-\infty}^{0}$$

Resultado similar para ya que es cuadrado.$[0,\infty]$$t$

No estoy muy seguro de haber hecho la integración correctamente, pero si puedo demostrar que el valor absoluto de es menor que , entonces la función es absolutamente continua.$\phi(t)$$\infty$

Las funciones de densidad se encuentran con la transformada inversa de Fourier. La función de densidad de la distribución, si existe tal densidad, estará dada por

$$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\phi(x) dx = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\left((1-x^2/2)e^{-x^2/4}\right) dx .$$

Esta integral se puede dividir en dos, cada uno de los cuales tiene un integrando de la forma

$$\exp(-Q_t(x))x^{2k}$$

donde es una forma cuadrática con un término negativo es un número entero no negativo. Esto hace que cada integrando sea una función de Schwartz (que disminuye rápidamente) , asegurando su integrabilidad para cualquier . La integrabilidad demuestra que es continua ; La rápida disminución demuestra que es absolutamente continua. Las integrales se realizan fácilmente completando el cuadrado en el exponencial, reduciéndolos a múltiplos de momentos pares de la distribución gaussiana. El resultado es$Q_t$$k$$t$

$$f(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} t^2 e^{-t^2}.$$

La continuidad de confirma la conclusión anterior de la continuidad absoluta de la distribución.$f$

El cuadrado de esta variable (simétrica) tiene una distribución Gamma .$(3/2, 1)$

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Alternativamente, uno podría reconocer que

$$\phi(t) = -2\left(-\frac{1}{2} + \frac{t^2}{4}\right)e^{-t^2/4} = (-i)^2\frac{d^2}{dt^2}2e^{-t^2/4}$$

es proporcional a la segunda derivada de la Gaussiana , lo que implica (dado que el operador en funciones características es equivalente a la multiplicación de funciones de distribución por la variable) que la densidad existe y es proporcional a veces la densidad cuyo cf es . Eso es inmediatamente reconocible como una distribución gaussiana (normal) con densidad proporcional a . En este punto, todo lo que tiene que hacer es calcular la constante de normalización de mediante integración o calculando la varianza de una distribución Normal con desviación estándar .$e^{-t^2/4}$$-id/dt$$f(x)$$x^2$$2e^{-t^2/4}$$e^{-x^2}$$2/\sqrt{\pi}$$\sqrt{1/2}$