Límites de la derivada de una función limitada de banda limitada

Dejar $f(t)$ ser una función con propiedades:

$$\begin{array}{ll} t\in\mathbf{R}&t\text{ is in reals}\\ f(t)\in\mathbf{R}\text{ for all } t&f(t)\text{ is in reals}\\ |f(t)|<A\text{ for all }t&\text{absolute value of }f(t)\text{ is bounded above by }A\\ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \ e^{- i \omega t} \ {\rm d}t = 0\text{ for all }|\omega|\ge B&f(t)\text{ is band-limited by frequency B in radians} \end{array}$$

Dado $A$ y $B,$ ¿Cuál es el límite superior ajustado para $|f'(t)|,$ El valor absoluto de la derivada de la función?

No se supondrá nada más sobre $f(t)$de lo que se ha dicho anteriormente. El límite debe adaptarse a esta incertidumbre.

Para una sinusoide de amplitud $A$ y frecuencia $B,$ el valor absoluto máximo de la derivada es $AB.$Me pregunto si este es un límite superior, y en ese caso también el límite superior ajustado. O tal vez una función no sinusoidal tiene una pendiente más pronunciada.

Te interesará la desigualdad de Bernstein, que conocí por primera vez en Lapidoth, A Foundation in Digital Communication (página 92).

Con una señal de buen comportamiento $f(t)$ como lo definiste anteriormente (en particular, $f(t)$ es integrable y limitado a $B\,\text{Hz}$y $\text{sup}\,|f(t)| = A$), entonces

$$\left|\frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t}\right| \leq 2AB\pi.$$

Tenga en cuenta que el resultado original de Bernstein estableció un límite de $4AB\pi$; más tarde, ese límite se apretó a$2AB\pi$.

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He pasado algún tiempo leyendo la "Serie trigonométrica" ​​de Zygmund; Todo lo que diré es que es el remedio perfecto para quienes tienen la impresión de que conocen la trigonometría. Una comprensión completa de la prueba está más allá de mi habilidad matemática, pero creo que puedo resaltar los puntos principales.

Primero, lo que Zygmund llama la desigualdad de Bernstein es un resultado más limitado. Dado el polinomio trigonométrico

$$T(x) = \sum_{-\infty}^\infty c_k e^{jkx}$$ (con real $x$), entonces $$\max_x |T'(x)| \leq n \max_x |T(x)|$$ con estricta desigualdad a menos que $T$ es un monomio $A \cos(nx+\alpha)$.

Para generalizar esto, necesitamos un resultado preliminar. Considera una función$F$ eso es en $\text{E}^\pi$ y en $\text{L}^2$. ($\text{E}^\sigma$ is the class of integral functions of type at most $\sigma$ -- this is one of the places where my math starts to fray at the edges. My understanding is that this is a mathematically rigorous way of stating that $f=\text{IFT}\lbrace F \rbrace$ has bandwidth $\sigma$.)

For any such $F$ we have the interpolation formula

$$F(z) = \frac{\sin(\pi z)}{\pi}F_1(z),$$ where $z$ is complex and $$F_1(z) = F'(0) + \frac{F(0)}{\pi} + \sum_{n=-\infty}^\infty {^\prime} (-1)^nF(n) \left( \frac{1}{z-n}+\frac{1}{n} \right).$$ (This is theorem 7.19.)

Now we can state the main theorem. If:

• $F$ is in $\text{E}^\sigma$ with $\sigma>0$
• $F$ is bounded on the real axis
• $M=\sup |F(x)|$ for real $x$

then

$$|F'(x)| \leq \sigma M$$ with equality possible iff $F(z) = a e^{j\sigma z} + b e{-j\sigma x}$ for arbitrary $a,b$. We suppose that $\sigma=\pi$ (otherwise we take $F(z\pi/\sigma)$ instead of $F(z)$.)

To prove this, we write the derivative of $F$ using the interpolation formula above:

$$F'(x) = F_1(x)\cos(\pi x)+\frac{\sin(\pi x)}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^nF(n)}{(x-n)^2}.$$ Setting $x=1/2$ we get $$F'(1/2) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^nF(n)}{(2n-1)^2}$$ lo que implica $$|F'(1/2)| \leq \frac{4}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{4M\pi^2}{4\pi} = M\pi.$$

Ahora necesitamos un pequeño truco: tomar un arbitrario $x_0$ y definir $G(z) = F(x_0+z-1/2)$. Entonces,

$$|F'(x_0)| = |G'(1/2)| \leq M\pi.$$

(TODO: Show the proof for the case of equality. Define $\sum \prime$.)

In general you would get something like this, but it might not be tight:

$$\begin{align}|f'(t)|&=\left|\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}j\omega F(j\omega)e^{-j\omega t}d\omega\right|\\&\le \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|\omega||F(j\omega)|d\omega\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}|\omega||F(j\omega)|d\omega\\&\le \frac{|\omega_c|}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}|F(j\omega)|d\omega\\&=\frac{\omega_c}{\pi}\int_{0}^{\omega_c}|F(j\omega)|d\omega\tag{1}\end{align}$$

The upper bound on $|f(t)|$ is of course implicit in $|F(j\omega)|$.

For a sinusoid $A\sin(\omega_ct)$, $(1)$ gives $A\omega_c$ as an upper bound, as expected.