Filtro de paso bajo de primer orden

Estoy tratando de comprender mejor el filtro de paso bajo de primer orden:

Resumen :

Según wikipedia, un filtro de paso bajo de primer orden produce lo siguiente en tiempo discreto:

$$\frac{Y(s)}{U(s)}= \frac{\omega_{c}}{s+\omega_{c}}$$ rendimientos $$y[k] = \left(\frac{\omega_c T_{s}}{1+\omega_{c} T_{s}} \right) u[k]+\left(\frac{1}{1+\omega_c T_{s}}\right) y[k-1]$$ o $$y[k] =\alpha \, u[k] \ + \ (1 - \alpha)y[k-1]$$

dónde

$\begin{array}{cclc} \omega_{c} &:& \text{Cutoff angular frequency of filter} & [\frac{rad}{s}] \\ T_{s} &:& \text{Sampling period} & [s] \\ \end{array}$

Pregunta 1 :

Aunque este filtro está en tiempo discreto, ¿sigue modelando un análogo ($s$-plano) filtro?

• Si quisiera usar un sistema informático discreto para filtrar en tiempo real,
  ¿necesitaría usar el digital ($z$-plano) equivalente?
• Si es así, ¿cuál es el proceso general para realizar esto?
  Mi mejor suposición es:
  1. Determinar la frecuencia de corte digital $\omega_d$.
  2. Convertir a frecuencia de corte analógica $\omega_a = \frac{2}{T} \cdot \mathrm{tan}(\omega_d \cdot \frac{T}{2})$.
  3. Determine la función de transferencia para el filtro analógico (paso bajo de primer orden)
     utilizando la frecuencia de corte analógica$\omega_a$.
  4. Transformar a la función de transferencia para filtro digital
     usando transformación bilineal$z = \frac{2}{T} \cdot \frac{z-1}{z+1}$

Relación con el suavizado exponencial :

En la misma página, se hace referencia al suavizado exponencial.
La página de suavizado exponencial describe un promedio ponderado exponencial como:

$$y[k] =\alpha u[k]+\left(1 - \alpha\right)y[k-1]\quad\text{where}\quad\alpha = 1 - e^{-\omega_{c} \cdot T_{s}}$$

Pregunta 2 :

¿Cómo es posible relacionar el filtro alfa de paso bajo de primer orden
con el alfa de suavizado exponencial?

Para responder a su primera pregunta, sí, necesitará convertir la señal en el plano Z. La transformación bi-lineal es una forma de lograr el resultado deseado. Incluso puede probar la Transformación invariante de impulsos para convertir el filtro analógico en uno digital.

El filtro en el dominio digital, por supuesto, tiene una correspondencia en el dominio analógico. Sin embargo, el comportamiento del dominio analógico difiere del filtro analógico correspondiente a través de la transformación bilineal debido a la deformación de frecuencia: la atenuación va a$-\infty$ a medida que la señal se acerca a la frecuencia de Nyquist en lugar de a medida que la señal se acerca a frecuencias infinitas.

En respuesta a la primera pregunta, no, no necesariamente necesita convertir la señal en el dominio z, pero eso es probablemente lo más común. Una alternativa es calcular la respuesta de frecuencia discretizada del filtro y multiplicar la DFT (FFT) de la señal de entrada con ella, luego tomar la DFT inversa (FFT). A menudo hago esto en mis complementos de audio para filtros que tienen un orden superior a dos para garantizar la estabilidad, especialmente cuando cambian los parámetros del filtro.