Cero, Primero, Segundo ... Retención de enésimo orden

La función rectangular se define como:

$$\mathrm{rect}(t) = \begin{cases} 0 & \mbox{if } |t| > \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \mbox{if } |t| = \frac{1}{2} \\ 1 & \mbox{if } |t| < \frac{1}{2}. \\ \end{cases}$$

La función triangular se define como:

$$\operatorname{tri}(t) = \begin{cases} 1 - |t|, & |t| < 1 \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$$ es la convolución de dos funciones rectangulares unitarias idénticas: $$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) \quad = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau$$ La retención de orden cero y la retención de primer orden utilizan estas funciones. De hecho, tiene: $$x_{\mathrm{ZOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{rect} \left(t-n\right) \ $$ para retención de orden cero y $$x_{\mathrm{FOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{tri} \left(t-n\right) \ $$ para retención de primer orden. Como$\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)$ , me gustaría saber si esto es solo una coincidencia o si, para la retención de segundo orden, la respuesta al impulso es $$\operatorname{tri}(t)*\operatorname{tri}(t)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)*\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right).$$ ¿Es cierto también para unaretencióngeneral deorden$k$ ? A saber, poner $$x_{\mathrm{K-TH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)\, \mathrm{g}_k \left(t-n\right) \ $$ donde$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)$ es la respuesta de impulso de laretención de orden$k$, me gustaría saber si su respuesta de impulso es $$\mathrm{g}_k \left(t-n\right)=\left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right)* \dots * \left(\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\right),$$ k veces

Este no es el caso. En primer lugar, una retención de segundo orden usaría tres puntos de muestra para calcular un polinomio de interpolación, pero su respuesta de impulso sugerida no es cero en un intervalo de tamaño 4 (suponiendo un intervalo de muestra de T = 1 , como lo haces en tu pregunta). Sin embargo, la respuesta al impulso correspondiente a una retención de segundo orden debe tener un soporte de longitud 3 .$\text{tri}(t)\star\text{tri}(t)$$4$$T=1$$3$

Ahora podría sugerir que una retención de orden podría tener una respuesta de impulso que es la convolución de n funciones rectangulares. En este caso, obtendría el tamaño de soporte correcto, pero por supuesto eso no es suficiente.$n^{th}$$n$

Una retención de orden calcula una interpolación por partes utilizando n + 1 puntos de datos consecutivos. Esto está en analogía con una retención de orden cero usando un único punto de datos, y una retención de primer orden, que usa dos puntos de datos. Esta definición se usa comúnmente en la literatura (ver, por ejemplo, aquí y aquí ).$n^{th}$$n+1$

Es fácil demostrar que el segundo orden polinomio que interpola tres puntos de datos , y [ 0 ] , y y [ 1 ] está dada por$y[-1]$$y[0]$$y[1]$

$$P(t)=y[-1]\frac{t(t-1)}{2}+y[0](1-t^2)+y[1]\frac{t(t+1)}{2}\tag{1}$$

Para encontrar la respuesta al impulso logrando la interpolación dada por , tenemos que equiparar ( 1 ) con la expresión$(1)$$(1)$

$$y[-1]h(t+1)+y[0]h(t)+y[1]h(t-1)\tag{2}$$

Si elegimos el soporte de la respuesta de impulso como el intervalo [ - 1 , 2 ] , que es equivalente a elegir el intervalo de interpolación [ 0 , 1 ] , igualar ( 1 ) y ( 2 ) da como resultado el siguiente impulso respuesta de una retención de segundo orden:$h(t)$$[-1,2]$$[0,1]$$(1)$$(2)$

$$h(t)=\begin{cases}\frac12(t+1)(t+2),&\quad -1<t<0\\ 1-t^2,&\quad0\le t \le 1\\ \frac12 (t-1)(t-2),&\quad 1<t<2\\ 0,&\quad\text{otherwise}\end{cases}\tag{3}$$

La respuesta al impulso de una retención de segundo orden se ve así: $(3)$

Les dejo que demuestren que esta respuesta de impulso no puede generarse al combinar tres funciones rectangulares entre sí.

así que por eso creo que una retención de orden es un rect ( t - T /$n$enredado contra sí mismonveces.$\operatorname{rect}\left( \frac{t - T/2}{T} \right)$$n$

Wikipedia no es la referencia final de todas las cosas, pero hay algo que olí desde allí. considere el muestreo y la reconstrucción (la fórmula de Shannon Whittaker). si la entrada original con límite de banda es y las muestras son x [ n ] ≜ x ( n T ) esa entrada con límite de banda se puede reconstruir a partir de las muestras con$x(t)$$x[n]\triangleq x(nT)$

$$x(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{sinc}\left( \frac{t - nT}{T} \right)$$

cuál es la salida de un filtro de ladrillo ideal con respuesta de frecuencia:

$$\begin{align} H(f) &= \operatorname{rect}(fT) \\ &= \begin{cases} 1 \quad |f| < \frac{1}{2T} \\ 0 \quad |f| > \frac{1}{2T} \\ \end{cases} \end{align}$$

cuando es conducido por la función idealmente muestreada

$$\begin{align} x_\text{s}(t) & = x(t) \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta\left( \frac{t - nT}{T} \right) \\ & = x(t) \cdot T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \delta(t - nT) \\ & = T \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \delta(t - nT) \\ \end{align}$$

$x_\text{s}(t)$$H(f)$$x(t)$$T$$H(f)$$1$

eso significa que la respuesta al impulso de este filtro de ladrillo ideal es

$$\begin{align} h(t) & = \mathcal{F}^{-1} \left\{ H(f) \right\} \\ & = \frac1T \operatorname{sinc}\left( \frac{t}{T} \right) \\ \end{align}$$

$x(t)$

$$x(t) = h(t) \circledast x_\text{s}(t)$$

$h(t)$

$x[n]$

$$x_\text{DAC}(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \ \operatorname{rect}\left( \frac{t - nT - \tfrac{T}2}{T} \right)$$

y se puede modelar como un filtro con respuesta de impulso

$$h_\text{ZOH}(t) = \frac1T \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}2}{T} \right)$$

$x_\text{s}(t)$

$$x_\text{DAC}(t) = h_\text{ZOH}(t) \circledast x_\text{s}(t)$$

y la respuesta de frecuencia del filtro de reconstrucción implícito es

$$\begin{align} H_\text{ZOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{ZOH}(t) \} \\ &= \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \\ &= e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT) \\ \end{align}$$

tenga en cuenta el retraso constante de media muestra en esta respuesta de frecuencia. de ahí viene la retención de orden cero .

$x_\text{s}(t)$

$x_\text{DAC}(t)$$x_\text{s}(t)$$x_\text{DAC}(t)$

$\frac{1}{j 2 \pi f T}$$x[n] - x[n-1]$$X(z) - z^{-1}X(z) = X(z)(1 - z^{-1})$

$(1 - z^{-1})$$(1 - (e^{j 2 \pi f T})^{-1}) = 1 - (e^{-j 2 \pi f T})$

$$\begin{align} H_\text{FOH}(f) &= \mathcal{F}^{-1}\{ h_\text{FOH}(t) \} \\ &= \left( \frac{1 - e^{j 2 \pi f T}}{j 2 \pi f T} \right)^2 \\ &= e^{j 2 \pi f T} \operatorname{sinc}^2(fT) \\ \end{align}$$

la respuesta impulsiva de esto es

$$\begin{align} h_\text{FOH}(t) &= \mathcal{F}\{ H_\text{FOH}(f) \} \\ &= \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \circledast \left( \operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right) \right) \\ &= \frac{1}{T} \operatorname{tri}\left( \frac{t-T}{T} \right) \\ \end{align}$$

$e^{j \pi f T} \operatorname{sinc}(fT)$$\operatorname{rect}\left( \frac{t-\tfrac{T}{2}}{T}\right)$

Otra pregunta fue marcada como un duplicado de esto. Allí se preguntó también qué es la retención poligonal . La retención poligonal y la misma parecen ser sinónimos de interpolación lineal, donde los "puntos están conectados" en lugar de que la salida parezca una sierra como en la retención predictiva de primer orden. Conectar las muestras con líneas requiere conocer de antemano la siguiente muestra para que la línea pueda orientarse en la dirección correcta. En el contexto de los sistemas de control en tiempo real donde las muestras no se conocen de antemano, significa que la salida debe retrasarse un período de muestreo para que las líneas se conecten a las muestras.

La retención polinómica (no retención poligonal) incluye tanto la retención de orden cero como la retención de primer orden.