¿El "muestreo complejo" puede romper Nyquist?

He escuchado anecdóticamente que el muestreo de señales complejas no necesita seguir las tasas de muestreo de Nyquist, sino que en realidad se puede evitar con la mitad de las tasas de muestreo de Nyquist. Me pregunto si hay algo de verdad en esto.

De Nyquist, sabemos que para muestrear sin ambigüedad una señal, necesitamos muestrear al menos más del doble del ancho de banda de esa señal. (Estoy definiendo el ancho de banda aquí como lo hacen en el enlace wiki , también conocido como la ocupación de la frecuencia positiva). En otras palabras, si mi señal existe de -B a B, necesito muestrear al menos> 2 * B para satisfacer a nyquist. Si mezclé esta señal hasta fc, y quisiera hacer un muestreo de paso de banda, necesitaría muestrear al menos> 4 * B.

Todo esto es genial para señales reales.

Mi pregunta es, ¿hay algo de cierto en la afirmación de que una señal de banda base compleja (también conocida como una que solo existe en un lado del espectro de frecuencia) no necesita muestrearse a una velocidad de al menos> 2 * B, pero de hecho puede ser adecuadamente muestreado a una tasa de al menos> B?

(Tiendo a pensar que si este es el caso, esto es simplemente semántica, porque todavía tienes que tomar dos muestras (una real y una imaginaria) por tiempo de muestra para representar completamente el fasor giratorio, y así seguir estrictamente a Nyquist. .)

¿Cuáles son tus pensamientos?

Su comprensión es correcta. Si muestrea a una velocidad , solo con muestras reales, puede representar inequívocamente el contenido de frecuencia en la región (aunque la advertencia que permite el muestreo de paso de banda todavía se aplica). No se puede mantener información adicional en la otra mitad del espectro cuando las muestras son reales, porque las señales reales exhiben simetría conjugada en el dominio de la frecuencia; Si su señal es real y conoce su espectro de a , puede concluir trivialmente cuál es la otra mitad de su espectro.$f_s$$[0, \frac{f_s}{2})$$0$$\frac{f_s}{2}$

No existe tal restricción para las señales complejas, por lo que una señal compleja muestreada a una velocidad puede contener sin ambigüedades contenido de a (para un ancho de banda total de ). Sin embargo, como notó, no hay una mejora de eficiencia inherente que se haga aquí, ya que cada muestra compleja contiene dos componentes (real e imaginario), por lo que si bien requiere la mitad de las muestras, cada una requiere el doble de la cantidad de almacenamiento de datos, lo que cancela fuera cualquier beneficio inmediato. Sin embargo, las señales complejas a menudo se usan en el procesamiento de señales, donde tiene problemas que se asignan bien a esa estructura (como en los sistemas de comunicaciones en cuadratura).$f_s$$-\frac{f_s}{2}$$\frac{f_s}{2}$$f_s$

También hay un enfoque simple para explicar esto: si su señal de banda base real tiene un espectro de -B a + B, muestrea con 2B, por lo que debe asegurarse de que las repeticiones espectrales del espectro no se superpongan. Una superposición significaría que tiene aliasing y no puede reconstruir el espectro original.

Ahora con una señal compleja, el espectro varía, según lo mencionado por Jason, de 0 a B. (Teóricamente, también puede tener espectro a frecuencias negativas, pero para la mayoría de los casos prácticos oscilará de 0 a B.) Si toma muestras con tasa B, dado que no hay partes en frecuencias negativas en el espectro original, las repeticiones del espectro no se superpondrán: ¡es posible una reconstrucción inequívoca!

Yo diría que es un 'No' calificado, en el sentido de que el número de muestras reales individuales no se ha aclarado adecuadamente, junto con el propósito de elegir la velocidad de digitalización de la señal.

Primero, todas las señales del mundo real son reales, más que complejas. Es decir, cada vez que nos enfrentamos a una representación compleja, en realidad tenemos dos puntos de datos (reales), que deben tenerse en cuenta en el límite 'Nyquist'.

El segundo problema son las "frecuencias negativas", como se percibe en la banda base. Casi toda la enseñanza de muestreo es desde una perspectiva de banda base, por lo que las frecuencias tienden a ser 0..B, que luego se muestrea en fs. Las frecuencias negativas se ignoran (usando la identidad conjugada compleja).

Es posible pensar en la señal de banda base como si se estuviera modulando a frecuencia cero, sin embargo, comenzar la modulación de la portadora en el punto fs / 2 nominal puede ser esclarecedor, ya que luego vemos las dos bandas laterales y el término complejo (matemático) a partir de el portador. La frecuencia negativa anterior ha cambiado. Y es posible que ya no tengamos la identidad conjugada compleja.

Si se ha eliminado la identidad compleja del conjugado, ya no tenemos el plegamiento de frecuencia, y tenemos un simple ajuste de alias.

Entonces, si tenemos una señal real de HF que se muestrea para proporcionar la demodulación de la representación compleja, sin plegar, en cierto sentido terminamos con un ancho de banda fs / 4 (+/- B). Por cada 4 muestras de datos (0, 90, 180, 270 grados) sacamos dos valores que representan los componentes en fase (0 - 180) y en cuadratura (90 - 270) de la muestra compleja general.

En un mundo completamente complejo, si la señal es compleja, la frecuencia de muestreo es compleja, dando como resultado el doble de términos. Depende de qué características matemáticas necesite de la señal muestreada.