Calculando series ligeramente oscilatorias con alta precisión?

Supongamos que tengo la siguiente función interesante:

f (x) = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} .

$f(x) = \sum_{k\geq1} \frac{\cos k x}{k^2(2-\cos kx)}.$ Tiene algunas propiedades desagradables, como que su derivada no sea continua en múltiplos racionales de

π

$\pi$ . Sospecho que no existe una forma cerrada.

Puedo calcularlo calculando sumas parciales y usando la extrapolación de Richardson, pero el problema es que es demasiado lento para calcular la función con un buen número de dígitos decimales (100 sería bueno, por ejemplo).

¿Hay algún método que pueda manejar mejor esta función?

Aquí hay una gráfica de con algunos artefactos: $f'(\pi x)$

$Derivada de la función, $ f '(\ pi x) $$

convergence extrapolation Kirill
fuente

Tal vez puedas usar el hecho de que

, donde

es un polinomio de Chebyshev. Entonces la suma comienza a parecerse a una serie de polinomios racionales. Entonces, si puede convertir la serie en un polinomio racional en una base de Chebyshev, permitiría una forma muy eficiente de resumirlo. Si no está familiarizado con los polinomios y la base de Chebyshev, las Recetas Numéricas en C tienen un buen manual, así como esto: www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/ATAP/ATAPfirst6chapters.pdf

c o s (k x) = T_{k} (x)

$cos(kx) = T_k(x)$

T_{k} (x)

$T_k(x)$

Jay Lemmon

er, eso debería decir

c o s (k x) = T_{k} (c o s (x))

$cos(kx) = T_k(cos(x))$

Jay Lemmon

@ JayLemmon Gracias por ese enlace. Echaré un vistazo y veré si ayuda.

Kirill

Me uniré a esta fiesta un poco tarde, pero ¿has intentado usar aproximaciones de Padé, es decir, el algoritmo

lugar de la extrapolación de Richardson?

ε

$\varepsilon$

Pedro

Por analogía con el caso de integrales altamente oscilatorias, no creo que pueda hacer un buen trabajo sin algún conocimiento de la separación entre las partes oscilatorias y no oscilatorias. Si tiene tal separación, la respuesta de la serie de Fourier le brinda una convergencia exponencial fácil.

Geoffrey Irving

Respuestas:

Si no se permiten las técnicas analíticas pero se conoce la estructura periódica, aquí hay un enfoque. Deje sea periódico con el período, de modo que donde

sol (X) = \frac{\cos X}{2 - \cos X}

$g(x) = \frac{\cos x}{2-\cos x}$

2 π

$2 \pi$

sol (X) = \sum_{j} w_{j} {mi}^{yo j X}

$g(x) = \sum_j w_j e^{ijx}$

Así,

w_{j} = \frac{1}{2 π} \int_{0 0}^{2 π} sol (X) {mi}^{- yo j X} re X

$w_j = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(x) e^{-ijx} dx$

Puede aproximar las integrales

directamente o calcular un montón devalores

y usar un DFT. En cualquier caso, puede aplicar potencialmente la extrapolación de Richardson al resultado. Como en su caso

es analítico dentro de una vecindad de

, la serie final converge exponencialmente incluso sin Richardson.

\begin{aligned} F (X) & = \sum_{k \geq 1} \frac{sol (k X)}{k^{pag}} \\ = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^{pag}} \sum_{j} w_{j} {mi}^{yo j k X} \\ = \sum_{j} w_{j} \sum_{k \geq 1} \frac{{({mi}^{yo j X})}^{k}}{k^{pag}} \\ = \sum_{j} w_{j} {Li}_{pag} ({mi}^{yo j X}) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{g(kx)}{k^p} \\ &= \sum_{k \ge 1} \frac{1}{k^p} \sum_j w_j e^{ijkx} \\ &= \sum_j w_j \sum_{k \ge 1} \frac{\left(e^{ijx}\right)^k}{k^p} \\ &= \sum_j w_j \operatorname{Li}_p(e^{ijx}) \end{aligned}$

w_{j}

$w_j$

f (x)

$f(x)$

g (x)

$g(x)$

R

$\mathbb{R}$

Geoffrey Irving
fuente

g (x) = \cos (x) / (2 - \cos (x))

$g(x) = \cos(x) / (2 - \cos(x))$

$x = 2\pi a/b$ $a,b$

\begin{aligned} F (X) & = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k X}{k^{2} (2 - \cos k X)} \\ = \sum_{k = 1}^{si} \frac{\cos k X}{2 - \cos k X} \sum_{norte \geq 0 0} \frac{1}{(k + si norte)^{2}} \\ = \sum_{k = 1}^{si} \frac{\cos k X}{2 - \cos k X} \frac{ψ^{1} (k / / si)}{{si}^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{\cos {kx}}{k^2 (2 - \cos {kx})} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \sum_{n \ge 0} \frac{1}{(k+bn)^2} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \frac{\psi^1(k/b)}{b^2} \end{aligned}$ dónde

ψ^{1} (z)

$\psi^1(z)$ es la función trigamma ( http://en.wikipedia.org/wiki/Polygamma ). Aquí hay gráficos de la función y su derivada con los artefactos eliminados: Valores y derivados para la serie.

Geoffrey Irving
fuente

Gracias. El problema es que seleccioné esta función específica como modelo para otra función más complicada que realmente quería evaluar, que tiene características similares, pero en realidad no es lo mismo. Soy consciente del formulario cerrado de esta pregunta en MSE . Me refería a esto como una pregunta sobre la suma numérica de una serie infinita sin forma cerrada.

Kirill

¿Quizás mi otra respuesta es mejor entonces?

Geoffrey Irving

¿Qué tal la transformación en U de Levin ? Además de los códigos Fortan, hay varias versiones en GSL : `gsl_sum_levin_u * ' . MuPAD y Maple de Matlab usan este esquema.

horchler
fuente

Lo intenté, pero descubrí que la extrapolación de Richardson es más precisa.

Kirill el