Convergencia no monotónica en problema de punto fijo

Antecedentes

Estoy resolviendo una variante de la ecuación de Ornstein-Zernike de la teoría líquida. En resumen, el problema puede representarse como la resolución del problema de punto fijo , donde es un operador integroalgebraico y es la función de solución (la función de correlación directa de OZ). Estoy resolviendo por iteración Picard, donde proporciono una solución de prueba inicial y genero nuevas soluciones de prueba mediante el esquema donde es un parámetro ajustable que controla la mezcla de yA Δ j + 1 ≡ ∫ d → r | c j + 1 ( r ) - c j ( r ) | < ϵ . A λ A c = $A c(r)=c(r)$$A$$c(r)$$c_0(r)$

$$c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~,$$ $\alpha$$c$$Ac$utilizado en la próxima solución de prueba. Para esta discusión, supongamos que el valor de no es importante. Repito hasta que la iteración converja dentro de la tolerancia deseada, : En mi variante del problema, depende de un parámetro , y mi pregunta es acerca de cómo la convergencia de depende de este parámetro.$\alpha$$\epsilon$ $$\Delta_{j+1} \equiv \int d\vec r |c_{j+1}(r)-c_j(r)| < \epsilon~.$$ $A$$\lambda$$Ac=c$

Para un amplio rango de valores para , el esquema de iteración anterior converge exponencialmente rápido. Sin embargo, a medida que disminuyo , eventualmente alcanzo un régimen en el que la convergencia no es monotónica, como se muestra a continuación. $\lambda$$\lambda$

Preguntas clave

En soluciones iterativas a problemas de punto fijo, ¿la convergencia no monotónica tiene algún significado especial? ¿Indica que mi esquema iterativo está al borde de la inestabilidad? Lo más importante , ¿debería la convergencia no monótona hacerme sospechar que la solución "convergente" no es una buena solución para el problema de punto fijo?

Supongamos que es la variable independiente desconocida en la solución de , entonces el método de punto fijo convergerá desde un punto siempre que el Jacobian , donde es una constante . En general, no es un único punto, sino el dominio atravesado por el esquema iterativo.x = f ( x ) x ∗ ∂ $x$$x=f(x)$$x^*$$\frac{\partial f}{\partial x}(x^*) \le \alpha$$\alpha$$<1$$x^*$

1. Su solución es convergente, aunque no de forma monotónica. Verifique en su jacobiano varios valores de y la variable de solución para ver si pasa de satisfacer los criterios de convergencia a no satisfacerlos, lo que podría explicar lo que está viendo.$\lambda$

2. Si su solución ha convergido dentro de una tolerancia relativa establecida adecuadamente que también representa números pequeños, entonces lo ha hecho.