Me pregunto si el cálculo exterior discreto, como nuevo método numérico, es bueno para resolver problemas numéricos en elasticidad, fluidos u otra área física / real.
Hablando de un entorno de electromagnetismo computacional, creo que es una forma muy elegante de discretizar problemas. Lo he usado con éxito en problemas de modo propio y valor límite. Probablemente sea menos preciso que una estricta discretización de elementos finitos si va con estrellas Hodge diagonales (aproximación de masa agrupada), pero creo que todavía logra la misma tasa de convergencia asintótica si calcula sus estrellas Hodge con cuidado (probablemente sea más complicado en electromagnetismo que en mecánica de Medios Continuos). Por lo tanto, es probable que sea solo un pequeño factor constante peor (en teoría, en la práctica puede ser insignificante).
DEC simplifica enormemente las formulaciones de los problemas y le permite concentrarse más en la física del problema. La construcción de las estrellas Hodge te obliga a pensar sobre el significado de las relaciones constitutivas y cuál es la forma físicamente significativa de realizar promedios espaciales. También parece preservar muchas de las simetrías importantes de los problemas continuos en la configuración discreta, y puede ser más fácil probarlas que en una configuración de elementos finitos.
Finalmente, como alguien que escribe código, aprecio no tener que realizar una cuadratura durante el ensamblaje de la matriz. En cambio, normalmente puede calcular las estrellas de Hodge utilizando promedios espaciales analíticos utilizando formas supuestas de variación espacial. En electromagnetismo donde tenemos propiedades de material constantes por partes sobre el espacio, estos promedios se pueden calcular exactamente, haciendo que todo el problema sea suave con respecto a pequeñas perturbaciones en la geometría espacial. Esto ayuda en gran medida a cualquier optimización que desee ajustar a su método.
Esta respuesta lleva unos años de retraso, pero creo que esas preguntas siguen siendo relevantes hoy. En los últimos años aparecieron nuevas aplicaciones de DEC en campos como gráficos por computadora, procesamiento de geometría, ecuaciones de Navier-Stokes y flujo de Darcy. En la introducción del artículo sugerido a continuación, encontrará una descripción general rápida de los campos (incluida la elasticidad lineal, la electrodinámica y los integradores variacionales) en los que se ha utilizado DEC (algunos de los autores citados han sido bastante activos en la literatura de DEC).
Como dijo Timur en una respuesta en el blog de Mathoverflow, la convergencia se puede obtener en casos especiales al relacionar DEC con otros métodos conocidos por converger. Sin embargo, se emprendieron serios intentos de desarrollar un marco general para abordar los problemas de convergencia. Recientemente, probamos la convergencia de las soluciones DEC para el problema de Poisson (en funciones, es decir, formas 0) en una dimensión arbitraria en la discreta norma L2. Muchos problemas y preguntas relacionadas con los comportamientos asintóticos de las soluciones discretas en otras normas permanecen abiertas, pero el siguiente es un paso bienvenido hacia una mejor comprensión de la teoría: https://arxiv.org/abs/1611.03955 (Convergencia del exterior discreto Aproximaciones de cálculo para problemas de Poisson, Erick Schulz y Gantumur Tsogtgerel, 2016).
El cálculo exterior discreto (DEC) tiene ventajas y desventajas:
Pros:
Facilidad de "uso" Para un estudiante, es bastante fácil armar una discretización y un solucionador para un PDE simple, por ejemplo, Laplace / Poisson en superficie curva (Laplace Beltrami). Hizo que el método fuera muy popular en Computer Graphics, después del laboratorio de geometría Caltech. realizó algunos cursos en la conferencia de gráficos principal (SIGGRAPH), consulte la referencia en otra respuesta. Es especialmente el caso en Computer Graphics, donde los estudiantes conocen bien las matrices, pero están menos familiarizados con las integrales. Usando DEC, pueden "jugar lego" y resolver PDE simples sin sufrir demasiado.
Hacer que algunos cálculos sean más simples DEC es una emanación de EC (cálculo exterior, inventado por Elie Cartan de 1899 a 1945). Central en la CE, existe la noción de formas ("cosas a integrar") y cadenas ("dominios de integración"), y una dualidad entre ellas. Varios teoremas (Stokes, Green-Gauss, Ostrogradsky y el teorema fundamental del análisis) son un caso especial de esta dualidad. No solo es elegante, sino que también hace que los cálculos sean más simples en algunos casos (como en electromagnetismo), y evita referirse a la parametrización de los objetos en muchos casos (por ejemplo, al manipular campos de vectores sobre superficies o en la configuración curva espacio-tiempo de relatividad).
Exhibir grados de libertad no trivialesAl explicar la relación entre formas ("cosas que se integrarán") y cadenas ("dominios de integración"), EC puede exhibir una parametrización no trivial de objetos, como campos vectoriales en superficies, y explicar las relaciones entre la topología del campo vectorial y la superficie subyacente (homología: topología de curvas trazadas en la superficie, co-homología: topología de campos vectoriales), ver [1] para un estudio profundo. Lo usamos en [2,3] para estudiar los grados topológicos de libertad de campos de vectores discretos. Un ejemplo impresionante del poder de este tipo de razonamiento es la prueba de Gortler et.al del teorema de inclusión plana de Tutte [4]. Pruebas previas de este teorema (por Tutte, y luego por Colin de Verdière) requieren que se entiendan ciertos antecedentes sobre la teoría de grafos. La prueba de Gortler et. es mucho más accesible
Contras:
La versión simplificada de DEC promovida por el laboratorio de geometría Caltech. esconde muchos detalles debajo del capó. Si bien está bien derivar las ecuaciones de Laplace y de Poisson tanto en la configuración euclidiana como en la curva, algunos problemas se encuentran rápidamente al discretizar ecuaciones más complicadas, ya que no incita a hacer preguntas sobre la convergencia a la configuración continua y / o las propiedades que son preservados por la discretización (identidades con div / grad / curl, referidas como el complejo Hodge, estudiadas por matemáticos como Jenny Harisson y Robert Kotiuga). La forma en que se usa en Computer Graphics (principalmente para la ecuación de Laplace) no aporta más en la mayoría de los casos que el clásico P1 FEM Laplaciano. Tiendo a preferir el clásico P1 FEM Laplaciano, porque te da la fórmula de la discretización y te explicapor qué . Otro aspecto es la forma en que la forma de DEC promovida por Caltech mezcla la estrella Hodge y el producto interno. Si bien facilita el ensamblaje de un laplaciano discreto como una matriz única, no indica cómo proyectar una función en el espacio de funciones así definido, y también dificulta la comprensión de cómo actúa la ortogonalidad: se obtiene una matriz igual a donde es la matriz condensada del producto interior y la matriz de rigidez, y ya no ver que los vectores propios son ortogonales con respecto al producto interior discretizado en , porque no ve .B A B B
Conclusión / resumen: EC y DEC es una teoría poderosa para estudiar problemas complicados (electromagnetismo, campos vectoriales en superficies de topología arbitraria). La forma en que se usa en Computer Graphics hace que sea simple para los estudiantes que no conocen integrales hacer cosas simples. Por cosas simples, tiendo a preferir la formulación clásica de FEM, donde la ruta de deducción completa es más fácil de seguir desde la teoría hasta la discretización junto con las garantías teóricas. Para cosas complicadas puede ser muy elegante y eficiente (siempre que se conserve todo el camino del razonamiento en lugar de simplemente "jugar al lego" con algunas formas de la discreta estrella de Hodge y la derivada exterior discreta).
[1] Douglas Arnold, Cálculo exterior de elementos finitos, 2006
[2] Diseño de campo de dirección de simetría N, ACM Trans. Graph., 2008
[3] Procesamiento de campo de dirección con reconocimiento de geometría, ACM Trans. Graph., 2009
[4] Una prueba elemental del teorema de inclusión plana de Tutte, Gortler, Gotsmann, Thurston, 2006, diseño geométrico asistido por computadora
Diría que parece haber algún interés, pero no está explotando. Es un volumen demasiado finito para mis gustos, pero soy una persona de elementos finitos.
Me interesaría mucho la respuesta a esta pregunta en lo que respecta a HPC y la informática científica general, pero ciertamente ha habido muchos buenos resultados en geometría computacional, por ejemplo, en muchas de las publicaciones y referencias aquí: http: / /www.geometry.caltech.edu/pubs.html