Cálculo del factor Cholesky

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Entonces, el teorema de descomposición de Cholesky establece que cualquier matriz real simétrica positiva definida tiene una descomposición de Cholesky donde es una matriz triangular inferior. $M$ $M= LL^\top$ $L$

Dado , ya sabemos que existen algoritmos rápidos para calcular su factor Cholesky . $M$ $L$

Ahora, supongamos que me dieron una matriz rectangular matriz , y sabía que era positiva definida. ¿Hay alguna manera de calcular el factor Cholesky de sin calcular explícitamente y luego aplicar algoritmos de factorización de Cholesky? $m\times n$ $A$ $A^\top A$ $L$ $A^\top A$ $A^\top A$

Si es una matriz rectangular muy grande que realiza explícitamente parece muy costosa y de ahí la pregunta. $A$ $A^\top A$

linear-algebra algorithms smilingbuddha
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Más de la costa de la formación de la matriz de productos cruzados, este enfoque también plazas el número de condición de su . Si su es casi deficiente en rango, entonces esta es ciertamente una mala forma de proceder.

A

$\mathbf A$

A

$\mathbf A$

JM

Esta pregunta y esta pregunta hacen lo mismo de diferentes maneras. Las respuestas en estos hilos (y las respuestas a continuación) deberían serle útiles.

Damien

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Sí, puede obtener el factor (hasta los signos de las entradas) utilizando la descomposición QR; ver esta respuesta . Tenga en cuenta que si todo lo que le interesa es resolver el problema de mínimos cuadrados que conducen a las ecuaciones normales que involucran , puede usar la descomposición QR directamente. $A^T A$

Christian Clason
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Si. Calcule la factorización y tome ; reescala las filas de si es necesario (cambiando algunos de sus signos) para que el signo de la diagonal no sea negativo (ya que el factor Cholesky se define como una diagonal no negativa). $QR$ $L=R^T$ $R$

Para factorizaciones QR dispersas ver, por ejemplo, http://dl.acm.org/citation.cfm?id=174408

Arnold Neumaier
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Cálculo del factor Cholesky

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