¿Existe un enfoque general para construir métodos de proyección para diferentes problemas?

Mi pregunta probablemente será demasiado general para responderla con un par de palabras. ¿Podría sugerir una buena lectura en ese caso? Los métodos de proyección se utilizan para reducir el tamaño del espacio de solución para los problemas. Y hay al menos dos aplicaciones muy interesantes (desde mi punto de vista). El primero es la resolución de problemas de mecánica continua (elementos finitos, métodos de Ritz) y el segundo es la resolución de sistemas de ecuaciones lineales (métodos de subespacio de Krylov).

La pregunta es la siguiente: ¿Existe una teoría o alguna parte del análisis que estudie los métodos de proyección en todas sus aplicaciones? Si es así, ¿se pueden construir otros métodos, como los métodos de volumen finito, a partir de este punto de partida?

Estudié FEA en la universidad, pero en este momento, todas las aproximaciones discretas son como un conjunto de "herramientas" aisladas que puedo usar en algún caso en particular. Gracias.

El enfoque de Galerkin (que busca una aproximación desde un subespacio dado manera que el residuo sea ortogonal a otro subespacio dado $U$$V$ ) es de hecho muy general (y no está restringido a espacios de dimensiones finitas). En el contexto de la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales, existen esencialmente dos condiciones que y V deben cumplir:$U$$V$

1. El problema discreto debe tener una solución única; esto a menudo requiere verificar las llamadas condiciones inf-sup . (En el método estándar de Ritz-Galerkin, este es básicamente el teorema de Lax-Milgram ; para sistemas lineales , esto equivale a dim U = dim V y que no hay vector en $Ax=b$$\dim U = \dim V$$V$ es -ortogonal a U ).$A$$U$

2. El error de discretización debe ser menor a medida que la dimensión de aumentan U y V. Esto requiere ciertaspropiedades de aproximaciónpara los subespacios. Por lo general, se toman espacios de polinomios por partes (como en el método estándar de elementos finitos), pero son posibles otras opciones (por ejemplo, métodos espectrales). (Del mismo modo, los métodos de proyección para sistemas lineales a menudo se basan en espacios de Krylov, ya que tienen buenas propiedades de aproximación).$U$$V$

De hecho, (algunos) métodos de volumen finito se pueden describir como métodos discontinuos de Galerkin (donde y / o V consisten en funciones constantes por partes).$U$$V$

La mayoría de los libros de texto matemáticos modernos sobre métodos de elementos finitos siguen este enfoque. Dos buenos ejemplos son

• Brenner, Scott: la teoría matemática de los métodos de elementos finitos
• Ern, Guermond: teoría y práctica de elementos finitos

(En particular, me gusta este último, ya que adopta un enfoque muy general de los métodos de Galerkin, incluidos los elementos finitos mixtos e híbridos y los métodos discontinuos de Galerkin).

Para los sistemas lineales, se ofrece una buena discusión general del enfoque de proyección en Saad's libro .

Para la solución de ecuaciones diferenciales, puede ser útil pensar en términos del Método de residuos ponderados (MWR) tal como lo acuñó Crandall (1956) y lo describió en una primera revisión de Finnlayson y Scriven (1966) como

"El método de los residuos ponderados unifica muchos métodos aproximados de solución de ecuaciones diferenciales que se utilizan actualmente".

y

"El método de los residuos ponderados es una herramienta de ingeniero para encontrar soluciones aproximadas a las ecuaciones de cambio de sistemas distribuidos".

En resumen, el método MWR unifica de manera sistemática varios métodos comunes de discretización.

¿Es esto en lo que estabas pensando?

Para la solución de sistemas de ecuaciones lineales, veo los métodos del subespacio de Krylov como un enfoque general para construir métodos de proyección. La parte más específica del problema de estos métodos es la elección del preacondicionador para la aceleración de la convergencia, y esto generalmente es un problema específico sobre cómo hacer esa elección.