Esquema de diferencia finita para "ecuación de onda", método de características

Considere el siguiente problema donde el término forzado puede depender de (vea la Edición 1 a continuación para la formulación) y y sus primeras derivadas. Esta es una ecuación de onda dimensional 1 + 1. Tenemos datos iniciales prescritos en .

W_{u v} = F

$W_{uv} = F$

u, v

$u,v$

W

$W$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

Estoy interesado en la solución dentro del dominio de dependencia de un intervalo y estoy considerando el siguiente esquema de diferencia finita.

{u + v = 0, u \in [- u_{M}, u_{M}]}

$\{ u+v = 0, u \in [- u_M,u_M]\}$

El objetivo es evolucionar por y de manera similar . Este esquema es integrable en el sentido de que para poder calcular consistentemente partir de los datos iniciales al integrar hacia arriba; por lo tanto, solo necesito mirar las ecuaciones de evolución para y . $W_u$ $W_u(u,v+1) - W_u(u,v) = F(u,v)$ $W_v(u+1,v) - W_v(u,v) = F(u,v)$ $W (u, v) + W_{u} (u, v) + W_{v} (u + 1, v) = W (u + 1, v + 1) = W (u, v) + W_{v} (u, v) + W_{u} (u, v + 1)$ $W(u,v) + W_u(u,v) + W_v(u+1,v) = W(u+1,v+1) = W(u,v) + W_v(u,v) + W_u(u,v+1)$ $W$ $W_v$ $W_u$
Para los datos iniciales, necesitamos la condición de compatibilidad . Lo que sugiere que puedo calcular los datos iniciales usando la diferencia finita directa (en ) de en el tiempo inicial con los valores de dados en puntos de medio entero . $W_u(u,v) - W_v(u+1,v-1) = W(u+1,v-1) - W(u,v)$ $u$ $W$ $W_t$ $(u+0.5,v-0.5)$

Pregunta :

¿Es este un esquema bien conocido? En particular, ¿dónde puedo encontrar el análisis de este esquema?
¿Hay algo obvio que deba tener en cuenta?

Antecedentes : Supongamos que no sé casi nada (lo cual probablemente sea cierto, ya que soy un matemático puro que intenta aprender un poco de maquinaria de computación).

Edición 1 : Solo para aclarar (para abordar algunos comentarios): la ecuación en las coordenadas sería y y son "coordenadas nulas" dadas por (hasta algunos factores de renormalización de 2) y . Entonces, los datos iniciales en están de hecho en . $x$ $t$

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt} - W_{xx} = F$

u

$u$

v

$v$

u = t + x

$u = t+x$

v = t - x

$v = t-x$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

{t = 0}

$\{t = 0\}$

Entonces, en lugar de una malla adaptada a , considero una malla adaptada a que está "rotada 45 grados". En comparación con donde toman valores enteros, uno puede pensar que la malla tiene puntos adicionales donde ambos (pero no solo uno de) y toman valores de medio entero. $(t,x)$ $(u,v)$ $(t,x)$ $t,x$ $u,v$ $t$ $x$

finite-difference reference-request hyperbolic-pde Willie Wong
fuente

Estoy un poco confundido por sus subíndices, pero esto me parece una especie de formulación de dominio de tiempo de diferencia finita . . . quizás con una formulación de malla escalonada (¿medios índices?).

meawoppl

@meawoppl: Simplemente llama a sus variables lugar de como se hace comúnmente. (En la formulación habitual de , también giran en el plano espacio-tiempo contra , pero eso es un asunto separado).

u, v

$u,v$

x, t

$x,t$

u, v

$u,v$

45^{\circ}

$45^\circ$

x, t

$x,t$

Wolfgang Bangerth

He editado para aclarar (la explicación de Wolfgang Bangerth es lo que tenía en mente).

Willie Wong

Respuestas:

Definitivamente hay literatura sobre esquemas como este. Dos palabras clave son

Método modificado de características
Esquemas semi-lagrangianos

Después de 20 minutos de búsqueda en Google: algunos documentos posiblemente importantes son http://dx.doi.org/10.1137/0719063 y http://dx.doi.org/10.1137/0728024 (busque desde allí). Es probable que esas no sean las mejores referencias, pero deberían ser un punto de partida para llevarlo a la literatura correcta.

Pienso en esto como un método rotado de líneas con división dimensional. Presumiblemente conoce muy bien la equivalencia de su ecuación y la forma habitual de la ecuación de onda bajo la transformación Para mí es útil pensar en su esquema en términos de esta forma tradicional de la ecuación de onda. Lo que hace el esquema es integrar primero a lo largo de un conjunto de características, luego a lo largo del otro. La integración se realiza utilizando la división dimensional y el método de Euler , los cuales son precisos de primer orden.

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt}-W_{xx} = F$

u = t + x, v = t - x .

$u = t+x, \ \ \ \ v = t-x.$

Por supuesto, dado que está integrando características, su esquema sería exacto en el caso . Es decir, los errores numéricos en su esquema se deben solo a la integración numérica de (esto puede ser obvio, pero tal vez sea útil señalar a aquellos que están acostumbrados a métodos numéricos más tradicionales). Además, su esquema es incondicionalmente estable para el caso . Nada más se puede decir sobre su estabilidad sin conocer algunas propiedades de . En general, el esquema será estable solo bajo alguna restricción de tamaño de paso finito (ya que el método de Euler es explícito). Si el jacobiano de tiene valores propios puramente imaginarios, el esquema será inestable. $F=0$ $F$ $F=0$ $F$ $F$

El enfoque de discretización general de reducir un PDE a un sistema de EDO (como en su método) se conoce como el método de líneas. Al igual que con cualquier método de discretización de líneas, podría aumentar el orden de precisión utilizando un solucionador de ODE de orden superior y podría mejorar la estabilidad utilizando un solucionador de ODE implícito apropiado (con el aumento correspondiente en el costo computacional por paso).

David Ketcheson
fuente

"pero Google lo ayudará más" En realidad, ese es uno de los grandes problemas. No estoy exactamente seguro de qué buscar en Google (sospecho que la literatura numérica puede usar algunos términos diferentes de la literatura pura). Si puede sugerir algunas palabras clave que debería buscar, se lo agradecería. ("Método de líneas", por ejemplo, me está señalando a una gran cantidad de información [quizás incluso un poco demasiado para poder filtrar a través de :-)].)

Willie Wong

@WillieWong: una referencia para las ecuaciones hiperbólicas que comúnmente citamos son los métodos de volumen finito de LeVeque para problemas hiperbólicos . No estoy seguro de si esta es la referencia correcta para empezar, pero al menos le proporcionará una introducción a los términos y técnicas en el campo.

Aron Ahmadia

Bien, agregué algunas palabras clave y referencias. Espero que te ayuden.

David Ketcheson

Muchas gracias por las referencias! Eso me dio un buen comienzo.

Willie Wong

Comenzando desde donde David Ketcheson me dejó en su respuesta, un poco más de búsqueda reveló algunas notas históricas.

El esquema que describí anteriormente fue considerado ya en 1900 por J. Massau, en Mémoire sur l'intégration graphique des équations aux dérivées partielles . El trabajo es republicado en 1952 por G. Delporte, Mons.

El primer (aunque breve) análisis moderno de su convergencia y tal fue dado por Courant, Friedrichs y Lewy's en su clásico artículo de 1928 en Math. Ana.

Willie Wong
fuente

Wow, no puedo creer que no me di cuenta de que esto estaba en el periódico CFL ...

David Ketcheson