¿Por qué la integración de Leapfrog es simpléctica y RK4 no, si esta última es más precisa?

En un sistema donde la energía debería conservarse teóricamente, la simulación más precisa conservaría la energía (además de proporcionar posiciones precisas, velocidades, etc.). RK4 es más preciso que leapfrog, pero leapfrog conserva energía y RK4 no. ¿Por qué es esto?

TL; DR: depende del tipo de precisión que necesite.

La conservación de energía no equivale automáticamente a la precisión. Suponga que desea simular el sistema solar y está utilizando un solucionador que, para usar un ejemplo extremo, simplemente rota todo el sistema en algún ángulo cada segundo. Estas soluciones obviamente conservan energía, pero son descaradamente incorrectas.

Por otro lado, si desea predecir los movimientos celestes durante un período de tiempo suficientemente corto, entonces los efectos de un método Runge-Kutta que no conserva la energía son insignificantes. Más bien, esto afecta a las simulaciones a largo plazo. En escalas de tiempo cortas, un método Runge-Kutta le dará resultados más precisos que leapfrog, al menos para un esfuerzo computacional comparable.

Ahora, en escalas de tiempo largas, ninguno de los métodos produce resultados muy precisos en el sentido de predecir el futuro preciso de alguna condición inicial (que también puede ser difícil debido al efecto mariposa). Sin embargo, el método Leapfrog al menos produce una solución plausible, ya que se preserva la energía. Esto es suficiente para muchas simulaciones donde el comportamiento cualitativo de los sistemas investigados es de interés.