Multigrid algebraica: ¿Por qué el producto de interpolación y restricción no da como resultado algo con la norma 1?

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Actualmente estoy trabajando con "A Multigrid Tutorial" de Briggs et al, Capítulo 8.

La construcción del operador de interpolación se da como: ingrese la descripción de la imagen aquí

Luego, la construcción del operador de restricción y el operador de cuadrícula fina se dan como:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Supongamos que tenemos tres puntos de cuadrícula x0, x1, x2 con el medio x1 está bien y los otros son gruesos. El del medio está interpolado por x1 = x0*w0 + x2*w2. Por lo tanto, el operador de interpolación es (en Matlab):

I = [1, 0, 0; w0, 0, w2; 0, 0, 1]

I =

[  1, 0,  0]
[ w0, 0, w2]
[  0, 0,  1]

El operador de restricción es entonces:

transpose(I)

ans =

[ 1, w0, 0]
[ 0,  0, 0]
[ 0, w2, 1]

Ahora veamos qué sucedería si uno restringiera y luego interpolara directamente, lo que resulta en una multiplicación de Iy transpose(I):

I*transpose(I)

ans =

[  1,          w0,  0]
[ w0, w0^2 + w2^2, w2]
[  0,          w2,  1]

Esperaría que esta matriz sea algo así como una matriz de identidad o al menos tendría la norma 1 o algo así. Pero si aplicamos x = [1, 1, 1] para digamos w0 = w2 = 0.5, obtendríamos [1.5 1.5 1.5]. Supongo que las operaciones de interpolación de restricción aplicadas repetidamente al menos convergerían en algo. Pero no, en ese caso todos los componentes del vector se multiplican por 1.5 en cada restricción-interpolación. Eso me parece muy extraño.

¿Alguien puede explicar lo que está pasando?

Miguel
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1
I3×32×3

Respuestas:

8

x

Jesse Chan
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Entiendo que. Pero al menos supondría que la aplicación repetida de restricciones e interpolaciones convergería en contra de algo. Pero no: en el caso anterior, todos los elementos vectoriales se multiplicarán por 1.5 por cada interpolación de restricción. Eso me parece extraño.
Michael
Claro, algunas respuestas cortas. (1) El suavizado y la normalización no se tienen en cuenta, que generalmente se aplican en conjunto con la interpolación / restricción. (2) Parte de esto podría ser la elección de los pesos. Estos a menudo corresponden a diferentes opciones de operadores de interpolación / restricción, algunos de los cuales resultan en un comportamiento probablemente mejor que otros. (3) Hay otros operadores interp / restrict para los que interp + restrict es una proyección. Por ejemplo, puede hacer proyecciones globales de grillas gruesas a finas, pero esto es costoso y no vale la pena para un solucionador.
Jesse Chan
4

ITI

EEIEI(EI)(EI)=EI

Wolfgang Bangerth
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