Cálculo rápido de componentes sabios

Tengo la siguiente pregunta:

Supongamos que tengo dos matrices $X, Y$ ambas de tamaño $m\times p$ y una matriz gaussiana $G$ de iid aleatoria de tamaño $m \times k$ , $m\gg p>k$ .

¿Hay alguna forma rápida de calcular $\exp(-XY^T)G$ ? ¿Quizás utilizando el hecho de que tanto $X$ como $Y$ son mucho más pequeños que $XY^T$ ? Aquí, $\exp(\cdot)$ significa exponente de entrada (es decir, de $\textbf{each}$ entrada de la matriz). Claramente, sin el exponente, es fácil y se puede hacer simplemente con $X(Y^TG)$ , pero el problema es que el exponente en cuanto a elementos ya no es de rango bajo.

La motivación para la pregunta es multiplicar un núcleo del formulario

$D_{ij}=\exp(-d_{ij})$ o$D_{ij}=\exp(-d_{ij}^2)$

$d_{ij}=\Vert x_i-y_j \Vert$$x_i, y_i \in \mathbb{R}^p$

Una solución aproximada también está bien.

Si las aproximaciones son suficientes, tal vez podríamos comenzar desarrollando el operador siguiente manera: Tenga en cuenta que los términos de potencia siguen su notación de elemento y refiérase a los poderes de Hadamard, abusando ligeramente de las convenciones estándar.$\exp$

$$\exp(Z) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{Z^k}{k!} = 1+Z+\frac{Z^2}{2} + \frac{Z^3}{6} + \frac{Z^4}{24} + ...$$

Esto ofrece posibilidades para volver a escribir la expresión: donde es una matriz de identidad de tamaño apropiado. Si uno pudiera vivir con aproximaciones de primer orden, entonces: resultando en una operación más fácil. Para aproximaciones de orden superior, le gustaría encontrar la solución para el poder de Hadamard, que probablemente sea un poco más difícil o aún no he visto una solución inmediata.

$$\begin{align} \exp{(-XY^T)}G &= \Big(I-XY^T+\frac{(XY^T)^2}{2} - \frac{(XY^T)^3}{6} + \frac{(XY^T)^4}{24} - ...\Big)G \\ &=G-XY^TG+\frac{(XY^T)^2G}{2} - \frac{(XY^T)^3G}{6} + \frac{(XY^T)^4G}{24} - ... \end{align}$$ $I$ $$\begin{align} \exp{(-XY^T)}G &= G-XY^TG+ O(max(|XY^T|)^2)\\ &\approx G-XY^TG = G-X(Y^TG) \end{align}$$