¿Qué método iterativo puede resolver efectivamente un sistema lineal con este tipo de espectro?

Tengo un sistema lineal con matriz cuyos valores propios se distribuyen uniformemente en el círculo unitario de esta manera:

ingrese la descripción de la imagen aquí

¿Es posible resolver este tipo de sistema de manera efectiva mediante un método iterativo, tal vez con algún preacondicionador?

linear-algebra iterative-method preconditioning faleichik
fuente

Creo que MINRES hará esto, aunque solo conozco resultados similares para un espectro real. ¿Sabes más sobre la matriz (en particular, es normal)?

Christian Clason

Además, eche un vistazo a page.math.tu-berlin.de/~liesen/Publicat/LiTiGAMM.pdf

Christian Clason

Este documento también es una buena referencia. En particular, aplicar el método de gradiente conjugado a las ecuaciones normales ( ), aunque desaconsejable para matrices con un número de condición grande, podría funcionar en su caso porque los valores singulares se parecen bastante a 1.

A^{*} A x = A^{*} b

$A^*Ax = A^*b$

Daniel Shapero

@ChristianClason en general, la matriz no es normal. Tiene una cierta estructura de bloque y es escasa. ¡Gracias por la referencia!

faleichik

Si la matriz es altamente no normal, mi sugerencia de CGNE es incorrecta, pero ese documento debería ser un buen comienzo. La biblioteca PETSc tiene prácticamente todos los solucionadores de subespacios de Krylov bajo el sol, por lo que puede probarlos todos y ver cuál funciona mejor. También hay una interfaz de Python para ello, lo que hace que las cosas sean mucho más convenientes.

Daniel Shapero

Respuestas:

La matriz está muy bien acondicionada, por lo tanto, GMRES (k) debería funcionar bien sin preacondicionador.

Arnold Neumaier
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Aunque la matriz está bien condicionada, esto no implica necesariamente que GMRES converja bien. Ejemplo de octava (Matlab): `n = 100; A = ojo (n); p = [n, 1: n-1]; A = A (:, p); número_condición = cond (A), b = ojo ( n, 1) + rand (n, 1) * 1e-6; [x, flag, relres, iter, resvec] = gmres (A, b); cerrar todo; semilogía (resvec); figura; trama (eig (A ), "."); `

wim

@wim: Tienes razón; Supuse sin una buena razón que era normal.

A

$A$

Arnold Neumaier