¿Cuál es el estado actual de la técnica en la resolución de PDE parabólicas de dimensiones superiores (ecuación de Schrödinger de múltiples electrones)

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¿Cuál es el estado actual de la técnica para resolver PDE parabólicas de dimensiones superiores (3-10) en el dominio complejo con polos simples (de la forma ) y absorbe las condiciones de contorno? $\frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$

Específicamente, estoy interesado en resolver la ecuación de Schrödinger de múltiples electrones:

$\left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi$

Para una molécula diatómica con más de 1 electrón.

parabolic-pde quantum-mechanics high-dimensional Andrew Spott
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Las soluciones para la ecuación están en Si la cantidad de electrones es losuficientemente pequeña, puede usar cualquiermétodotradicional. Como un método de discretización de dominio (Diferencia finita, Elemento finito, Elemento límite) o un método pseudoespectral. Dado que resolver esta ecuación no es más difícil que resolver una ecuación de onda multidimensional.

ψ \in C^{3 M} \times R^{+} .

$\psi \in \mathbb{C}^{3M}\times\mathbb{R}^+ \enspace .$

En el caso de sistemas más grandes, es necesario algún truco para obtener la solución. Reemplazamos la interacción electrón-electrón por la interacción de un electrón con una nube de electrones (una aproximación de campo medio del resto de ellos), y luego resolvemos de manera coherente (debido a la no linealidad que proviene del campo medio término). Esto se hace en Hartree-Fock y la teoría funcional de la densidad (DFT). Donde la ecuación diferencial original se transforma en una formulación variacional.

DFT es el método más común hoy en día, y la ventaja es que todas las ecuaciones están formuladas en términos de densidad de electrones y no en términos de ecuaciones de onda. Entonces, las ecuaciones se encuentran en un espacio tridimensional. Un libro que describe ambos métodos es

Thijssen, Jos. Física computacional. Cambridge University Press, 2007. Enlace de Amazon .

nicoguaro
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¿Desea resolver de 3 a 10 sistemas de partículas (3D por partícula)? Hasta donde yo sé, las teorías de campo medio no funcionan especialmente bien para tan pocas partículas, pero parece que ha habido trabajo de DFT en moléculas diatómicas.

¿Es este un sistema en el que Born-Oppenheimer es válido? Si es así, podría inclinarme a expandir la función de onda electrónica utilizando una combinación lineal de determinantes Slater, posiblemente utilizando una cuadrícula dispersa o cuadrículas espectrales dispersas. Este artículo quizás podría ayudar .

Otra opción es intentar utilizar un enfoque de unión estrecha, aunque el hecho de que haya mencionado la absorción de condiciones límite sugiere que puede estar pensando en problemas relacionados con la ionización / disociación. La TB sería principalmente útil si intentara aproximarse a estados de bajo nivel.

Posiblemente, algo como el método Hartree-Fock de configuración múltiple dependiente del tiempo podría funcionar aquí MCTDHF .

Finalmente, podrías mirar los métodos cuánticos de Monte Carlo. Estos son los métodos por los cuales se obtienen modelos funcionales de intercambio y correlación para átomos individuales para hacer cálculos DFT. Parece que hay extensiones poliatómicas. (Estoy fuera de los privilegios de enlace).

Greg
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3-10 dimensiones, no partículas: específicamente 1 a 3 electrones, 2 núcleos (1d para los núcleos, 6d para las partículas), sin una aproximación de Born-Oppenheimer. Y estoy haciendo cosas de ionización.

Andrew Spott

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$M$ $3M$ $N$ $N$ $N^{3M}$ $M$ $N=10$ $10^9$

De esta consideración se deduce que no es posible considerar el problema con todos los electrones al mismo tiempo; debe restringirse a uno o dos electrones a la vez. Naturalmente, esto lo lleva a métodos como el método Hartree Fock que itera sobre los electrones mientras mantiene el resto del sistema fijo.

No conozco el campo lo suficientemente bien, pero imagino que hay una serie de artículos de revisión muy bien citados y bien escritos sobre el tema.

Wolfgang Bangerth
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10^{9}

$10^9$

Bueno, los sistemas fermiónicos tienen bastantes (anti-) simetrías debido al principio de Pauli que puede explotar para reducir significativamente los grados de libertad numérica (en lugar del hipercubo tridimensional, solo necesita considerar el simplex correspondiente, de los cuales el cubo contiene (3M) copias). Por lo tanto, solo necesita funciones básicas de binom (N, 3M), aún exponencial, pero cada vez más lento. Eso podría poner el extremo inferior del rango al alcance de una estación de trabajo robusta.

Christian Clason

Para un sistema de 3 electrones, tal vez. Pero aún así no podrás hacer nada más que esto. Eso no deja una gran cantidad de moléculas :-)

Wolfgang Bangerth

Pero la pregunta solo era pedir 3-10 variables :) (Pero su punto es válido: para cualquier cosa con más de una pequeña cantidad de electrones, debe considerar modelos de campo aproximados como DFT; mi punto era que entre "puede ser resuelto con enfoques estándar "y" solo se puede resolver aproximadamente ", hay un rango no trivial de problemas que" solo se pueden resolver usando enfoques no estándar ".)

Christian Clason

¿Cuál es el estado actual de la técnica en la resolución de PDE parabólicas de dimensiones superiores (ecuación de Schrödinger de múltiples electrones)

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