¿Cómo se pueden aplicar las wavelets a PDE?

Me gustaría aprender cómo se pueden aplicar los métodos wavelet a PDE, pero desafortunadamente no conozco un buen recurso para aprender sobre este tema.

Parece que muchas introducciones a las wavelets se centran en la teoría de la interpolación, por ejemplo, ensamblando una señal mediante una superposición de preferiblemente pocas wavelets. Algunas veces se mencionan aplicaciones para PDE, sin profundizar en ese tema. Estoy interesado en buenos artículos de resumen para las personas que han visto un WFT pero no tienen más conocimiento sobre ese tema. Un buen resumen también sería interesante, por supuesto, si cree que se puede hacer.

Estoy particularmente interesado en tener una impresión de qué tipo de preguntas suelen aparecer. Por ejemplo, sé que los elementos finitos generalmente se aplican a una PDE en un dominio acotado con límite de Lipschitz, que son las preguntas típicas para elegir el espacio ansatz (conforme, no conforme, geometría y combinatoria), cómo se establece la teoría de convergencia ( en realidad, la teoría de Galerkin no debería ser tan diferente para Wavelets), y tengo cierta intuición sobre qué cosas matemáticas son factibles en las implementaciones. Tal perspectiva de ojo de pájaro en Wavelets para PDE sería muy útil para mí.

Las wavelets tienen buenas propiedades de aproximación de resolución múltiple, pero no son especialmente populares para resolver PDE. Las razones más comúnmente citadas son la dificultad para imponer condiciones límite, el tratamiento de la anisotropía no alineada, la evaluación de términos no lineales y la eficiencia.

Las wavelets fueron las primeras en obtener fuertes resultados de convergencia para métodos totalmente adaptativos (ver Cohen, Dahmen y DeVore 2001 y 2002 ). Sin embargo, esta teoría crucial fue seguida rápidamente por Binev, Dahmen y DeVore (2004) quienes demostraron un resultado similar para los métodos de elementos finitos adaptativos que son más populares para los problemas tradicionales de PDE en dimensiones moderadas. Las bases wavelet son populares para problemas de dimensiones superiores, como los métodos de tensor disperso para PDEs estocásticas Schwab y Gittelson (2011) y esta discusión .

Los operadores diferenciales tienen un número de condición limitado cuando se expresan en bases wavelet y se preacondicionan con Jacobi (por lo tanto, los métodos de Krylov convergen en un número constante de iteraciones independientemente de la resolución). Esto está relacionado con los métodos jerárquicos de múltiples cuadrículas de Yserentant (1984), Bank, Dupont e Yserentant (1988) y otros. Tenga en cuenta que los métodos multiplicativos de cuadrícula múltiple tienen propiedades de convergencia superiores a los métodos aditivos. Un ciclo en V multirredes estándar es esencialmente equivalente al Gauss-Seidel simétrico estándar en la base de wavelet con el orden habitual. Tenga en cuenta que esta rara vez es la mejor manera de implementar, especialmente en paralelo.

$\mathcal H$

Los operadores diferenciales son relativamente más caros de evaluar en bases wavelet y puede ser difícil establecer las propiedades de conservación deseadas. Algunos autores (por ejemplo , Vasilyev, Paolucci y Sen 1995) recurren a métodos de colocación y utilizan plantillas de diferencias finitas para evaluar derivados y términos no lineales. Si la expansión wavelet está bloqueada (generalmente es buena para la eficiencia computacional), estos métodos se vuelven muy similares a la AMR estructurada en bloque.

Sugiero Beylkin y Keizer (1997) como una introducción práctica para resolver PDE con wavelets. El código MADNESS se basa en estos métodos. Tiene soporte para límites inmersos (ver Reuter, Hill y Harrison 2011 ), pero no tiene una forma eficiente de representar capas límite en geometría complicada. El software se usa a menudo para problemas de química en los que la geometría no es un problema.

Para el análisis numérico general de las wavelets, sugiero el libro de Cohen de 2003 . Presenta un marco de análisis en el que la solución continua se manipula hasta que desee evaluarla con una precisión dada, en cuyo punto se evalúa la base de wavelet según sea necesario.