¿Cómo demuestro que un estado de dos qubits es un estado enredado?

El estado de Bell es un estado enredado. ¿Pero por qué es ese el caso? ¿Cómo demuestro matemáticamente eso?$|\Phi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$

Definición

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Un estado de dos qubits es un estado enredado si y solo si no existen dos estados de qubit y tal que , donde denota el producto tensorial y .$|\psi\rangle \in \mathbb{C}^4$| b ⟩ = gamma | 0 ⟩ + lambda | 1 ⟩ ∈ C 2 | un ⟩ ⊗ | b ⟩ = | Psi ⟩ $|a\rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle \in \mathbb{C}^2$$|b\rangle = \gamma |0\rangle + \lambda |1\rangle \in \mathbb{C}^2$$|a\rangle \otimes |b\rangle = |\psi\rangle$$\otimes$$\alpha, \beta, \gamma, \lambda \in \mathbb{C}$

Entonces, para mostrar que el estado de Bell es un estado enredado, simplemente tenemos que demuestre que no existen dos estados de qubit y modo que .| un⟩| b⟩| Φ+⟩=| un⟩⊗| b$|\Phi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$$|a\rangle$$|b\rangle$$|\Phi^{+}\rangle = |a\rangle \otimes |b\rangle$

Prueba

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Suponer que

$$\begin{align} |\Phi^{+}\rangle &= |a\rangle \otimes |b\rangle \\ &= \left( \alpha |0\rangle + \beta |1\rangle \right) \otimes \left( \gamma |0\rangle + \lambda |1\rangle \right) \end{align}$$

Ahora podemos simplemente aplicar la propiedad distributiva para obtener

$$\begin{align} |\Phi^{+}\rangle &= \cdots \\ &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$$

Esto debe ser igual a , es decir, debemos encontrar los coeficientes , , y , de modo quealphaßgamma$\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle )$$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lambda$

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle ) &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$$

Observe que, en la expresión , queremos mantener ambos y . Por lo tanto, y , que son los coeficientes de , no pueden ser cero; en otras palabras, debemos tener y . Del mismo modo, y , que son los números complejos que multiplican no pueden ser cero, es decir, y . Entonces, todos los números complejos| 00 ⟩ | 11 ⟩ alpha $\alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle$$|00\rangle$$|11\rangle$$\alpha$$\gamma$alfa ≠ 0 gamma ≠ 0 ß lambda | 11 ⟩ ß ≠ 0 lambda ≠ 0 alpha ß gamma $|00\rangle$$\alpha \neq 0$$\gamma \neq 0$$\beta$$\lambda$$|11\rangle$$\beta \neq 0$$\lambda \neq 0$$\alpha$ , , y deben ser diferentes de cero.$\beta$$\gamma$$\lambda$

Pero, para obtener el estado de Bell , queremos deshacernos de y . Entonces, uno de los números (o ambos) multiplicando (y ) en la expresión , es decir, y (y, respectivamente, y ), deben ser iguales a cero. Pero acabamos de ver que , , y| 01 ⟩ | 10 ⟩ | 01 ⟩ | 10 ⟩ alfa gamma | 00 ⟩ + alfa lambda | 01 ⟩ + ß gamma | 10 ⟩ + ß lambda | 11 ⟩ alpha lambda ß gamma alpha ß gamma $|\Phi^{+}\rangle$$|01\rangle$$|10\rangle$$|01\rangle$$|10\rangle$$\alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle$$\alpha$$\lambda$$\beta$$\gamma$$\alpha$$\beta$$\gamma$$\lambda$todos deben ser diferentes de cero. Entonces, no podemos encontrar una combinación de números complejos , , y modo queβ γ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\lambda$

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle ) &= \left( \alpha \gamma |00\rangle + \alpha \lambda |01\rangle + \beta \gamma |10\rangle + \beta \lambda |11\rangle \right) \end{align}$$

En otras palabras, no podemos expresar como un producto tensorial de dos estados de un qubit. Por lo tanto, es un estado enredado.| Φ +$|\Phi^{+}\rangle$$|\Phi^{+}\rangle$

Podemos realizar una prueba similar para otros estados de Bell o, en general, si queremos demostrar que un estado está enredado.

Un estado puro de dos qudit es separable si y solo si puede escribirse en la forma

$$|\Psi\rangle=|\psi\rangle|\phi\rangle$$ para los estados individuales qudit arbitrarias $|\psi\rangle$ y $|\phi\rangle$ . De lo contrario, está enredado.

Para determinar si el estado puro está enredado, uno podría intentar un método de fuerza bruta para intentar encontrar estados satisfactorios $|\psi\rangle$ y $|\phi\rangle$ , como en esta respuesta. Esto es poco elegante y un trabajo duro en el caso general. Una forma más directa de demostrar si este estado puro está enredado es calcular la matriz de densidad reducida $\rho$ para uno de los qudits, es decir, trazando el otro. El estado es separable si y solo si $\rho$ tiene rango 1. De lo contrario, está enredado. Matemáticamente, puede probar la condición de rango simplemente evaluando $\text{Tr}(\rho^2)$. El estado original es separable si y solo si este valor es 1. De lo contrario, el estado está enredado.

Por ejemplo, imagine que uno tiene un estado separable puro $|\Psi\rangle=|\psi\rangle|\phi\rangle$ . La matriz de densidad reducida en $A$ es

$$\rho_A=\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|)=|\psi\rangle\langle\psi|,$$ Y $$\text{Tr}(\rho_A^2)=\text{Tr}(|\psi\rangle\langle\psi|\cdot |\psi\rangle\langle\psi|)=\text{Tr}(|\psi\rangle\langle\psi|)=1.$$ Por lo tanto, tenemos un estado separable.

Mientras tanto, si tomamos $|\Psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)$, entonces

$$\rho_A=\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|)=\frac12\left(|0\rangle\langle 0|+|1\rangle\langle 1|\right)=\frac12\mathbb{I}$$ y $$\text{Tr}(\rho_A^2)=\frac14\text{Tr}(\mathbb{I}\cdot\mathbb{I})=\frac12$$ Dado que este valor no es 1, tenemos un estado enredado.

Si desea saber acerca de la detección de enredos en estados mixtos (no estados puros), esto es menos sencillo, pero para dos qubits hay una condición necesaria y suficiente para la separabilidad: positividad bajo la operación de transposición parcial .