Ejemplos simples para ilustrar la utilidad de la Transformada de Laplace

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Soy un profesor de matemáticas que imparte un curso de introducción de EDO, y la mayoría de mis alumnos van a estudiar ingeniería. Como tal, me gustaría darles muchos ejemplos de cómo se aplica nuestro material.

Estamos llegando a la Transformada de Laplace y estoy buscando un ejemplo relativamente simple de Control Theory. Estaba pensando en quizás examinar un control PID para el control de crucero en un automóvil o para un termostato (estos parecen ser los ejemplos clásicos), pero tengo problemas para ver por qué realmente necesitamos la Transformación de Laplace o las funciones de transferencia. : ya sabemos cómo resolver EDO lineales con coeficientes constantes sin Laplace.

Espero que alguien pueda mostrarme por qué realmente necesitamos (o al menos nos ayuda mucho) las funciones de Transformar y transferir de Laplace en estos ejemplos, o señalarme un ejemplo simple donde lo hacemos.

control-engineering control-theory Jon
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Una búsqueda dio: quora.com/…

Solar Mike

En ingeniería de control y teoría de control, la función de transferencia se deriva utilizando la transformada de Laplace; para señales de tiempo continuo, las funciones de transferencia asignan la transformación de Laplace de la entrada a la transformación de Laplace de la salida. Más información encontrada aquí .

AsymLabs

Siguiendo lo anterior, hay varios ejercicios en el documento pdf aquí que también son aplicaciones prácticas y esta búsqueda en github.com proporciona 3 páginas de repositorios de software.

AsymLabs

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Considere como un operador derivado. Por lo tanto, $s$

\frac{Y}{X} = \frac{s + 2}{s^{2} + 0.5 s + 3}

$\frac{Y}{X}=\frac{s+2}{s^2+0.5s+3}$

parece

\frac{Y}{X} = \frac{\frac{d}{d t} . + 2}{\frac{d^{2}}{d t} . + 0.5 \frac{d}{d t} . + 3}

$\frac{Y}{X}=\frac{\frac{d}{dt}.+2}{\frac{d^2}{dt}.+0.5\frac{d}{dt}.+3}$

(\frac{d^{2}}{d t} . + 0.5 \frac{d}{d t} . + 3) y = (\frac{d}{d t} . + 2) x

$(\frac{d^2}{dt}.+0.5\frac{d}{dt}.+3) y=(\frac{d}{dt}.+2)x$

(\frac{d^{2}}{d t} y + 0.5 \frac{d}{d t} y + 3 y) = (\frac{d}{d t} x + 2 x)

$(\frac{d^2}{dt}y+0.5\frac{d}{dt}y+3y) =(\frac{d}{dt}x+2 x)$

Para sistemas lineales, necesitamos más derivadas y convoluciones que la varianza de tiempo y la multiplicación (excepto para el escalado). Por lo tanto, vale la pena pasar al dominio de Laplace.

$s$ representa la frecuencia también. Los hermosos ejemplos son los teoremas del valor inicial y final que muestran cómo el tiempo y la frecuencia son, en el límite, inversos entre sí

x (0) = lim_{s \to \infty} s X (s)

$x(0)=\lim_{s\to \infty} sX(s)$

x (\infty) = lim_{s \to 0} s X (s)

$x(\infty)=\lim_{s\to 0} sX(s)$

Otra aplicación útil de la transformación de Laplace es para el diseño de filtros de paso alto y paso bajo. Son mucho más cómodos para trabajar en dominio que los derivados desordenados. $s$

Arash
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¿Cuál es la respuesta (a una carga arbitraria) de un conjunto viscoelástico que consiste en un amortiguador (con constante de amortiguamiento ) conectado en serie con un resorte (con constante de resorte ) y otro amortiguador ( ) que están conectados en paralelo? $\eta_1$ $k_2$ $\eta_2$

En otras palabras, el ensamblaje se ve así:

y estamos tirando del lado derecho; El lado izquierdo es fijo. Deseamos saber el desplazamiento del lado derecho.

(El desplazamiento individual de un solo resorte expuesto a una carga es ; la tasa de desplazamiento individual de un el único amortiguador expuesto a la misma carga es .) $u_i(t)$ $F_i(t)$ $u_i(t)=\frac{F_i(t)}{k_i}$ $\dot u_i(t)$ $\dot u_i(t)=\frac{F_i(t)}{\eta_i}$

Este tipo de problema surge todo el tiempo en el contexto de la ingeniería automotriz, la metalurgia, la síntesis de polímeros y la biomecánica, entre otros campos. Pero tendrá dificultades para escribir la respuesta de este y de ensamblajes mucho más complejos si mantiene las derivadas temporales.

En cambio, tomemos las transformadas de Laplace para cada componente y supongamos un desplazamiento cero en : para un resorte y para un amortiguador. Ahora, al darnos cuenta de que los desplazamientos se suman cuando los componentes agrupados están conectados en serie, mientras que las fuerzas se suman cuando los componentes están conectados en paralelo, encontramos que el desplazamiento total es $t=0$ $F_i(s)=k_iu_i(s)$ $F_i(s)=s \eta_i u_i(s)$

u (s) = \frac{F (s)}{s η_{1}} + \frac{F (s)}{k_{2} + s η_{2}}

$u(s)=\frac{F(s)}{s\eta_1}+\frac{F(s)}{k_2+s\eta_2}$

Por lo tanto, la función de transferencia del conjunto es

\frac{u (s)}{F (s)} = \frac{1}{s η_{1}} + \frac{1}{k_{2} + s η_{2}}

$\frac{u(s)}{F(s)}=\frac{1}{s\eta_1}+\frac{1}{k_2+s\eta_2}$

¿Qué sucede si aplico una carga unitaria por pasos durante 1 segundo y luego la dejo ir? Escribiríamos esta carga como , correspondiente a (podemos buscar estas transformaciones de Laplace en una tabla, por ejemplo, o usar una herramienta simbólica como Wolfram Alpha). La respuesta resultante es $F(t)=u(t)-u(t-1)$ $F(s)=\frac{1}{s}-\frac{\exp(-s)}{s}$

u (s) = \frac{1 - e^{- s}}{s^{2} η_{1}} + \frac{1 - e^{- s}}{s (k_{2} + s η_{2})}

$u(s)=\frac{1-e^{-s}}{s^2\eta_1}+\frac{1-e^{-s}}{s(k_2+s\eta_2)}$

La respuesta de tiempo correspondiente (dejando que todas las variables del sistema sean iguales a 1 por simplicidad) es

u (t, η_{1} = η_{2} = k_{2} = 1) = e^{- t} [(e - t e^{t}) u (t - 1) + e^{t} (t + 1) - 1]

$u(t, \eta_1=\eta_2=k_2=1)=e^{-t}\left[(e-te^t)u(t-1)+e^t(t+1)-1\right]$

o, gráficamente (con tiempo en segundos en el eje xy desplazamiento en el eje y),

Quimomecánica
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Para su enfoque, necesita conocer la ODE exacta del sistema. Sin embargo, al diseñar un controlador para un sistema que se puede aproximar como LTI, no es necesario un modelo ODE completamente parametrizado e identificado. Puede usar algún algoritmo de ajuste PID o, tal vez más relacionado con su pregunta, medir la función de respuesta de frecuencia (FRF) del sistema. Podría ajustar una función de transferencia en este FRF, pero el FRF en sí mismo ya es suficiente información para diseñar un controlador utilizando la formación de bucles.

fibonatic
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