Método de desacoplamiento del sistema MIMO (entrada múltiple - salida múltiple)

En muchos artículos y libros se describe un sistema MIMO con método de desacoplamiento de 2 entradas y 2 salidas a un sistema SISO . ¿Qué hay de los sistemas de funciones de transferencia de tamaño m * n ? ¿Cómo podemos generalizar el método, por ejemplo, a sistemas MIMO 3 * 3 o 3 * 7?

Aquí hay una descripción del sistema 2 * 2 MIMO:

con al formulario$\mathrm{D_{11}(s)=D_{22}(s)=1}$

$$\mathrm{D(s)}=\begin{bmatrix} D_{11}(s) & D_{12}(s) \\ D_{21}(s) & > D_{22}(s) \\ \end{bmatrix}$$

Aquí especificamos una respuesta desacoplada y el desacoplador con la estructura en la ecuación

$$G_p(s)D(s)=\begin{bmatrix} G_{11}(s) & 0 \\0 & G_{22}(s) > \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} G_{11}(s) & G_{12}(s) \\ G_{21}(s) & > G_{22}(s) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & D_{12}(s) \\ D_{21}(s) & 1 > \end{bmatrix} > = \begin{bmatrix} G^*_{11}(s) & 0 \\ 0 & G^*_{22}(s) \end{bmatrix}$$

Y podemos resolver cuatro ecuaciones en cuatro incógnitas para encontrar

$$D_{12}(s) = -\frac{G_{12}(s)}{G_{11}(s)} \\ D_{21}(s) = > -\frac{G_{21}(s)}{G_{22}(s)} \\ G_{l1}(s) = G_{11}(s) = -\frac{G_{12}(s)G_{21}(s)}{G_{22}(s)} \\ G_{l2}(s) = G_{22}(s) = -\frac{G_{21}(s)G_{12}(s)}{G_{11}(s)}$$

No puedo darle la solución usando las funciones de transferencia. Sin embargo, puedo darle una forma general utilizando la representación del espacio de estados. Lo haré para un sistema cuadrado , es decir, el número de entradas y salidas es igual. Para un sistema con entradas salidas, se está volviendo más complicado y mucho más difícil resolver el problema.$n$$m$

El sistema con salidas

$$\dot{x}=f(x)+ g_1(x)u_1 + \ldots + g_m(x)u_m$$ $$y_1 = h_1(x), \ldots, y_m = h_m(x)$$

Primero introduciendo el derivado de mentira. La derivada de mentira de con respecto a o a lo largo de es Por ejemplo, se usa la siguiente notación: $h$$f$$f$

$$L_{f}h(x) = \frac{\partial h}{\partial x}f(x)$$ $$\begin{split} L_g L_f &= \frac{\partial (L_f h)}{\partial x}g(x)\\ L_f^2 h(x) &= L_f L_f h(x) &= \frac{\partial (L_f h)}{\partial x}f(x)\\ L_f^kh(x) &= L_f L_f^{k-1}h(x) &= \frac{\partial (L_f^{k-1})}{\partial x}f(x) \end{split}$$

Introducir la noción de grado relativo con respecto a cada salida. Considere la salida -ésima y diferencie con respecto al tiempo: Esta expresión depende explícitamente en al menos una entrada if (para todo ): If así, el salida ésimo tiene grado relativo .$i$

$$\dot{y}_i = L_fh_i(x) +L_{g_1}h_i(x)u_1 +\ldots L_{g_m}h_i(x)u_m$$ $x$ $$\left(L_{g_1}h_i(x),\ldots,L_{g_m}h_i(x) \right)\neq (0,\ldots,0)$$ $i$$k_i = 1$

En general, el grado relativo por salida if para todas las .$k$$i$

$$\left(L_g,L_f^{k_i-1}h_i(x),\ldots,L_{g_m}L_f^{k_i-1}h_i(x)\right) \neq (0,\ldots,0)$$ $x$

El sistema ahora está linealizado de entrada-salida (por lo tanto, desacoplado) al aplicar la siguiente retroalimentación con el desacoplamiento matriz , vector y nuevo vector de entrada . Donde .

$$u(x) = -A^{-1}(x)N(x)+A^{-1}(x)v$$ $A(x)$$N(x)$$v$ $$A(x) = \begin{pmatrix} L_{g_1}L_f^{k_1-1}h_1(x) & \ldots & L_{g_m}L_f^{k_1-1}h_1\\ \vdots & & \vdots\\ L_{g_1}L_f^{k_m-1}h_m(x) & \ldots & L_{g_m}L_F^{k_m-1}h_m\\ \end{pmatrix},\quad N(x) = \begin{pmatrix} L_f^{k_1}h_1(x)\\ \vdots\\ L_f^{k_m}h_m(x) \end{pmatrix}$$

Por lo tanto, debe ser invertible para todas las . Si desea las funciones de transferencia, simplemente aplique Laplace.$A(x)$$x$