Sistema de amortiguación de muelles en masa simple que dimensiona los factores K y C

Me he encontrado con un problema, que me ha preocupado desde hace algún tiempo. Lo que hay que hacer es lo siguiente:

Una masa en una varilla de 0,6 m (masa menos) tiene una masa de 1 kg unida al final. La varilla debe girarse 60 °, dentro de t = 120 segundos (ver imagen). Lo que me gustaría hacer es dimensionar un resorte giratorio (ubicado en el punto de pivote) y un sistema de amortiguación, de manera que amortigue la fuerza del resorte. Así, la rotación ocurre dentro de la cantidad de tiempo especificada.

He escrito la ecuación diferencial genérica del sistema:

$$ J \ theta '' + C \ theta '+ K \ theta = 0 $$

(Ecuación diferencial típica del sistema de resorte amortiguado)

y para un sistema amortiguado crítico, y para $ t = 0 $, $ \ theta = 0 $ tengo la solución:

$$ \ theta (t) = A t \ exp (-bt) $$

donde $ A $ es una constante, y $ b $ es el coeficiente de amortiguamiento.

Mi pregunta es ¿cómo puedo continuar, de modo que pueda dimensionar el coeficiente de amortiguamiento y la constante de resorte?

Y si puedo continuar desde aquí, ¿cómo debo proceder a dimensionar mi sistema?

Tenga en cuenta que $ g = 0 $, no hay gravedad.

La ecuación debe ser

$$ J \, \ ddot {\ theta} + K \, (\ theta- \ theta_T) + C \, \ dot {\ theta} = 0 $$

donde $ \ theta_T $ es el ángulo objetivo y la posición de descanso para el resorte.

Las cosas se simplifican con la siguiente sustitución. $$ \ begin {cases}   K = J \ Omega ^ 2 \\   C = 2 \ zeta J \ Omega \ end {cases} $$ donde $ \ Omega $ es un parámetro que se relaciona con la rigidez, y $ \ zeta $ un parámetro que se relaciona con la amortiguación.

La solución general de la ecuación $ \ ddot {\ theta} + \ Omega ^ 2 (\ theta- \ theta_T) + 2 \ zeta \ Omega \ dot {\ theta} = 0 $ es

$$ \ theta = \ theta_T + C_1 \ exp \ left (- \ Omega t \ left (\ sqrt {(\ zeta ^ 2-1)} + \ zeta \ right) \ right) + C_2 \ exp \ left (- \ Omega t \ left (\ sqrt {(\ zeta ^ 2-1)} - \ zeta \ right) \ right) $$

donde se encuentran los coeficientes $ C_1 $ y $ C_2 $ según las condiciones de los límites. En este caso, la barra está en reposo cuando $ t = 0 $ y por lo tanto

$$ \ begin {cases}   C_1 = \ frac {\ theta_T} {2} \ left (\ frac {\ zeta} {\ sqrt {(\ zeta ^ 2-1)}} - 1 \ right) \\  C_2 = - \ frac {\ theta_T} {2} \ left (\ frac {\ zeta} {\ sqrt {(\ zeta ^ 2-1)}} + 1 \ right) \ end {cases} $$

La respuesta más rápida es cuando $ \ zeta \ rightarrow 1 $ ya que minimiza el valor del primer exponente. Con una amortiguación óptima, la solución se convierte en

$$ \ theta = \ theta_T \ left (1 - {\ rm e} ^ {- \ Omega t} (1+ \ Omega t) \ right) $$

y $ C = 2 J \ Omega $.

Pero como dijo, no puede encontrar el $ \ Omega $ correcto para alcanzar el ángulo objetivo en el momento especificado porque $ \ Omega $ no puede estar aislado de la solución.

Pero se puede aislar de la solución general cuando $ \ zeta & gt; 1 $. De los dos términos, el primero se acerca a cero mucho más rápido que el segundo. Podemos encontrar el coeficiente $ \ varphi = \ Omega t $ que hace que el segundo exponente esté cerca de cero por un valor $ \ epsilon $ (en grados).

$$ \ izquierda. \ frac {\ theta_T} {2} \ left (\ frac {\ zeta} {\ sqrt {(\ zeta ^ 2-1)}} + 1 \ right) \ exp \ left (- \ varphi \ left (\ sqrt {(\ zeta ^ 2-1)} - \ zeta \ right) \ right) = \ epsilon \ right \} $$ $$ \ varphi = \ frac {\ ln \ left (2 \ frac {\ epsilon} {\ theta_T} (\ zeta \ sqrt {(\ zeta ^ 2-1)} - \ zeta ^ 2 + 1) \ right)} {\ sqrt {(\ zeta ^ 2-1)} - \ zeta} = \ Omega \ , t_T $$

donde $ t_T $ es el tiempo objetivo. Un buen compromiso ocurre cuando $ \ varphi = \ frac {1} {\ sqrt {(\ zeta ^ 2-1)}} $ que hace $ \ frac {{\ rm d} \ varphi} {{\ rm d} \ zeta} = 0 $ y por lo tanto minimiza $ \ varphi = \ Omega \, t_T $.

Esto produce la solución.

$$ \ begin {cases}   K = \ frac {J} {t_T ^ 2 \ gamma (\ gamma + 2)} \\   \ zeta = \ frac {\ sqrt {(J + K t_T ^ 2)}} {t \, \ sqrt {K}} \\   C = \ frac {2} {t_T} \ sqrt {J (J + K t_T ^ 2)} \ end {cases} $$

donde $ \ gamma \ ll 1 $ es un pequeño valor positivo (definido como $ \ zeta = 1+ \ gamma $).

Corríjame si me equivoco, pero parece que tiene sus valores para $ \ theta $ y $ t $ como 60 ° y 120s respectivamente. No estoy seguro de lo que es $ A $, podría ser una elección de diseño para que usted haga. Para su sistema de amortiguamiento crítico, solo necesita conocer el coeficiente de amortiguación $ b $. Usted simplemente reorganizaría la ecuación hasta que se convirtiera

$$ b = \ frac {\ ln (\ theta / A)} {\ ln (t) t} $$