Relación y diferencia entre transformadas de Fourier, Laplace y Z

Me he confundido un poco sobre estos temas. Todos han empezado a verse igual para mí. Parecen tener las mismas propiedades, como la linealidad, el desplazamiento y la escala asociados con ellos. Parece que no puedo ponerlos por separado e identificar el propósito de cada transformación. Además, ¿cuál de estos se utiliza para el análisis de frecuencia?

No pude encontrar (con Google) una respuesta completa que aborde este problema específico. Deseo verlos comparados en la misma página para tener algo de claridad.

Las transformadas de Laplace y Fourier son transformaciones continuas (integrales) de funciones continuas.

La transformada de Laplace asigna una función a una función de la variable compleja s , donde .F ( s $f(t)$$F(s)$$s = \sigma + j\omega$

Dado que la derivada asigna a , la transformada de Laplace de una ecuación diferencial lineal es una ecuación algebraica. Por lo tanto, la transformación de Laplace es útil, entre otras cosas, para resolver ecuaciones diferenciales lineales. sF(s$\dot f(t) = \frac{df(t)}{dt}$$sF(s)$

Si establecemos la parte real de la variable compleja s en cero, , el resultado es la transformada de Fourier que es esencialmente la representación del dominio de frecuencia de (tenga en cuenta que esto solo es cierto si para ese valor de existe la fórmula para obtener la transformada de Laplace de , es decir, no va al infinito).F ( j ω $\sigma = 0$$F(j\omega)$σ f ( t $f(t)$$\sigma$$f(t)$

La transformación Z es esencialmente una versión discreta de la transformación de Laplace y, por lo tanto, puede ser útil para resolver ecuaciones de diferencia , la versión discreta de ecuaciones diferenciales . La transformación Z asigna una secuencia a una función continua de la variable compleja .F ( z ) z = r e j $f[n]$$F(z)$$z = re^{j\Omega}$

Si establecemos la magnitud de z en la unidad, , el resultado es la Transformación de Fourier de tiempo discreto (DTFT) que es esencialmente la representación en el dominio de la frecuencia de .F ( j Ω ) f [ n $r = 1$$F(j\Omega)$$f[n]$

Las transformaciones de Laplace pueden considerarse un superconjunto para CTFT. Verá, en un ROC, si las raíces de la función de transferencia se encuentran en el eje imaginario, es decir, para s = σ + jω, σ = 0, como se mencionó en comentarios anteriores, el problema de las transformaciones de Laplace se reduce a la Transformada de Fourier de tiempo continuo. Para retroceder un poco, sería bueno saber por qué las transformaciones de Laplace evolucionaron en primer lugar cuando tuvimos las transformaciones de Fourier. Verá, la convergencia de la función (señal) es una condición obligatoria para que exista una Transformada de Fourier (absolutamente sumable), pero también hay señales en el mundo físico donde no es posible tener tales señales convergentes. Pero, dado que es necesario analizarlos, los hacemos converger, al multiplicar un e ^ σ exponencialmente decreciente, lo que los hace converger por su propia naturaleza. Este nuevo σ + jω recibe un nuevo nombre 's', que a menudo sustituimos como 'jω' por la respuesta de señales sinusoidales de los sistemas LTI causales. En el plano s, si el ROC de una transformada de Laplace cubre el eje imaginario, entonces su Transformada de Fourier siempre existirá, ya que la señal convergerá. Estas señales en el eje imaginario son las señales periódicas e ^ jω = cos ωt + j sin ωt (según Euler).

De la misma manera, z-transform es una extensión de DTFT para, primero, hacer que converjan, segundo, para que nuestras vidas sean mucho más fáciles. Es fácil tratar con az que con ae ^ jω (estableciendo r, radio de círculo ROC como untiy).

Además, es más probable que use una Transformada de Fourier que Laplace para señales que no son causales, porque las transformadas de Laplace hacen la vida mucho más fácil cuando se usan como transformaciones unilaterales (de un lado). También podría usarlos en ambos lados, el resultado será el mismo con alguna variación matemática.

Las transformadas de Fourier son para convertir / representar una función que varía en el tiempo en el dominio de la frecuencia.

Una transformación de Laplace es para convertir / representar una función variable en el tiempo en el "dominio integral"

Las transformaciones Z son muy similares a laplace pero son conversiones discretas de intervalo de tiempo, más cercanas para implementaciones digitales.

Todos parecen iguales porque los métodos utilizados para convertir son muy similares.

Trataré de explicar la diferencia entre la transformación de Laplace y Fourier con un ejemplo basado en circuitos eléctricos. Entonces, supongamos que tenemos un sistema que se describe con una ecuación diferencial conocida, digamos, por ejemplo, que tenemos un circuito RLC común. También suponga que se usa un interruptor común para encender o apagar el circuito. Ahora, si queremos estudiar el circuito en el estado estacionario sinusoidal, tenemos que usar la transformada de Fourier. De lo contrario, si nuestro análisis incluye el encendido o apagado del circuito, tenemos que implementar la transformación de Laplace para las ecuaciones diferenciales.

En otras palabras, la transformación de Laplace se utiliza para estudiar la evolución transitoria de la respuesta del sistema desde el estado inicial hasta el estado estacionario sinusoide final. Incluye no solo el fenómeno transitorio del estado inicial del sistema sino también el estado estacionario sinusoidal final.

Diferentes herramientas para diferentes trabajos. A fines del siglo XVI, los astrónomos comenzaban a hacer cálculos desagradables. Los logaritmos se calcularon primero para transformar la multiplicación y la división en sumas y restas más fáciles. Del mismo modo, las transformaciones de Laplace y Z convierten ecuaciones diferenciales desagradables en ecuaciones algebraicas que tienes la posibilidad de resolver. Las series de Fourier se inventaron originalmente para resolver el flujo de calor en ladrillos y otras ecuaciones diferenciales parciales. La aplicación a cuerdas vibratorias, tubos de órganos y análisis de series temporales se produjo más tarde.

En cualquier sistema LTI para calcular la función de transferencia, usamos solo la transformada de Laplace en lugar de la transformada de Fourier o Z porque en Fourier obtenemos la salida limitada; no va al infinito. Y la transformación z se usa para señales discretas, pero los sistemas LTI son señales continuas, por lo que no podemos usar la transformación z. Por lo tanto, al usar la transformación laplace podemos calcular la función de transferencia de cualquier sistema LTI.