¿Cuál es la función de una serie de Fourier?

¿Qué es una serie de Fourier? ¿Para que se utiliza?

La serie de Fourier:

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t) + b_i cos(i \omega_0 t) ]$

El término es una constante, ese es el nivel de CC. También podría haberse escrito sin dividir entre dos, pero esta es la convención. Los términos de la suma infinita son la suma de un seno ponderado y un coseno ponderado con la misma frecuencia. Si dibujara estos como fasores en el plano complejo de Argand, vería que el resultado es nuevamente un seno, pero con una amplitud diferente y una fase desplazada. Por lo tanto, la ecuación también se puede escribir como $\dfrac{a_0}{2}$

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t + \phi_i) ]$

Entonces tenemos la suma de los senos, todas las frecuencias múltiples de una frecuencia fundamental , cada una de ellas con su propia amplitud y fase. $\omega_0$

Fourier demostró que puede describir cada función repetitiva de esta manera. A veces la serie es infinita, a veces tiene un número finito de términos. A veces faltan términos, lo que significa que su amplitud es cero.

Una de las series de Fourier más conocidas es la de una onda cuadrada:

$V_t = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[\dfrac{sin((2i - 1) \omega_0 t)}{2i - 1} \right]$

o expandido:

$V_t = sin(\omega_0 t) + \dfrac{1}{3} sin(3 \omega_0 t) + \dfrac{1}{5} sin(5 \omega_0 t) + \dfrac{1}{7} sin(7 \omega_0 t) + ...$

Entonces esta es una serie con términos faltantes: una onda cuadrada no tiene armónicos pares. La siguiente imagen muestra cómo se ve en el dominio del tiempo:

El dibujo superior muestra la suma de los dos primeros términos, luego se agrega un tercero y al final un cuarto término. Cada término adicional acercará la forma de onda a una onda cuadrada, y necesitará el límite de la serie al infinito para obtener una onda cuadrada perfecta.

A veces es difícil ver el seno fundamental en él. Tomemos, por ejemplo, la suma de un seno de 3Hz y un seno de 4Hz. La forma de onda resultante se repetirá una vez por segundo, es decir, 1 Hz. El 1Hz es el fundamental, incluso si su amplitud es cero. La serie se puede escribir como

$V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)$

Todos los siguientes términos también tienen amplitud cero.

Cada señal analógica realizable, cualquier cosa que se le ocurra o dibuje legítimamente en un gráfico de voltaje vs. tiempo se puede expresar en términos matemáticos como la suma de un número infinito de ondas sinusoidales de diferentes frecuencias, algo de esta forma:

any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....

Diferentes señales se construyen mediante el cambio de los valores de A, B, Cetc, y f1, f2entre otros.

Cuando alguien se refiere a una serie de Fourier, se refieren a expresar la forma de onda como una serie de operaciones de suma como las anteriores.

Siendo realistas, cada señal analógica tiene ALGUNO contenido en cada frecuencia, incluso si la amplitud es .1e-67 todavía está allí. Idealmente, esto no es así: si construyo una onda cuadrada pura, entonces sé con certeza que consiste SOLAMENTE en frecuencias que son un múltiplo impar de su período. Así, la onda cuadrada de 1Hz es la suma de una onda sinusoidal de 1Hz más una onda sinusoidal de 3Hz y así sucesivamente. Para otras formas de onda bien conocidas, como las ondas triangulares y las rampas, las personas han realizado los cálculos sobre qué frecuencias están presentes y con qué contenido.

La serie de Fourier es un medio para expresar una forma de onda periódica como la suma (posiblemente infinita) de formas de onda sinusoidales 'armónicas'.

También se usa para expresar una señal en un intervalo de tiempo acotado (compacto) como la suma infinita de formas de onda sinusoidales.

Esencialmente, al establecer la relación entre una señal en el dominio del tiempo (es decir, una señal expresada en función del tiempo) y una señal equivalente en el dominio de la frecuencia (es decir, la señal expresada en función de la frecuencia), el Fourier La serie permite el análisis armónico de señales y sistemas, que es la base de la teoría de transmisión de radio, teoría de codificación, teoría de control, teoría cuántica y muchas otras áreas muy útiles de ingeniería.

Si bien la expresión de señales de la serie de Fourier parece más complicada al principio, involucra expresiones complejas y 'sumas infinitas', como herramienta matemática, permiten a los ingenieros resolver problemas que no pueden resolverse usando expresiones de forma cerrada.

En pocas palabras, a veces es útil expresar la variación en el espacio y / o el tiempo como una variación en frecuencia y fase. Particularmente para variaciones periódicas. Pero incluso cuando la variación no es periódica, siempre que la variación se limite a algún intervalo en el espacio y / o el tiempo, también se limitará a un intervalo correspondiente (ancho de banda) en frecuencia.

La aplicación de la serie Fourier ha sido fundamental para comprender el ancho de banda del canal para sistemas de comunicaciones, desarrollar algoritmos de compresión de imágenes y mejorar la confiabilidad del sistema de distribución de energía eléctrica.

Para agregar algo de practicidad a los comentarios anteriores, la serie de dominio de tiempo de Fourier se puede descomponer en sus componentes de dominio de frecuencia a través de algoritmos como FFT (Transformación rápida de Fourier) y DFT (Transformación discreta de Fourier). Un resultado práctico importante de poder aplicar los algoritmos es que en I + D y pruebas de laboratorio, a menudo queremos medir la pureza espectral de las señales contra un fondo de ruido (por ejemplo, SNR o Rango dinámico libre espurio) para ver qué tan puro o con frecuencia, sin distorsiones, nuestro contenido de señal es. Si tenemos una salida en el dominio del tiempo (como la que procesaría un convertidor DA), no podemos determinar estos valores simplemente observando la respuesta en el dominio del tiempo, tan a menudo en el lado de la simulación, usaremos un módulo DFT para transformar la señal del dominio del tiempo en el dominio espectral (frecuencia). En laboratorio, en un osciloscopio, Necesitamos tener alguna herramienta que pueda ver las propiedades espectrales (normalmente usamos analizadores de espectro). El corazón de estas herramientas depende del análisis de Fourier y los métodos de descomposición espectral. Entonces, tiene una razón práctica sobre por qué el análisis de Fourier es importante en EE.